[论文解读] FibeRed: Fiberwise Dimensionality Reduction of Topologically Complex Data with Vector Bundles

Luis Scoccola, José A. Perea|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2022

Topological and Geometric Data Analysis被引用 2

一句话总结

FibeRed 提出了一种基于纤维的降维框架，通过向量丛建模拓扑结构复杂的数据，将全局拓扑（基空间）与局部几何（纤维）分离。通过利用拓扑推断和局部线性降维，其生成的低维嵌入在拓扑保真度上优于基于度量的方法（如 Isomap、t-SNE 和 UMAP），尤其在具有非平凡拓扑结构的流形（如圆柱面和克莱因瓶）上表现更优。

ABSTRACT

Datasets with non-trivial large scale topology can be hard to embed in low-dimensional Euclidean space with existing dimensionality reduction algorithms. We propose to model topologically complex datasets using vector bundles, in such a way that the base space accounts for the large scale topology, while the fibers account for the local geometry. This allows one to reduce the dimensionality of the fibers, while preserving the large scale topology. We formalize this point of view, and, as an application, we describe an algorithm which takes as input a dataset together with an initial representation of it in Euclidean space, assumed to recover part of its large scale topology, and outputs a new representation that integrates local representations, obtained through local linear dimensionality reduction, along the initial global representation. We demonstrate this algorithm on examples coming from dynamical systems and chemistry. In these examples, our algorithm is able to learn topologically faithful embeddings of the data in lower target dimension than various well known metric-based dimensionality reduction algorithms.

研究动机与目标

• 解决基于度量的降维方法在低维嵌入中难以保持非平凡大尺度拓扑结构的局限性。
• 利用向量丛的数学框架，将数据的全局拓扑结构与局部几何结构解耦。
• 开发一种实用算法，将局部线性降维与拓扑推断相结合，以提升嵌入保真度。
• 证明基于向量丛的表示方法在复杂数据集上可生成比标准基于度量的技术更准确且更低维的嵌入。

提出的方法

• 将数据建模为向量丛，其中基空间编码大尺度拓扑，纤维捕捉局部几何。
• 使用持久上同调计算初始的循环坐标映射，以捕捉环路等基本拓扑特征。
• 在纤维邻域内应用局部线性降维（如 PCA），在保持局部结构的同时降低维度。
• 通过求解确保局部纤维表示正交且一致的余上链条件，构建全局一致的嵌入。
• 采用剪切-展开技术处理非可定向流形（如克莱因瓶），通过拓扑一致的 patch 构建基本区域。
• 将初始基空间映射与优化后的纤维坐标结合，生成最终的低维表示，以同时保留拓扑与局部几何特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 向量丛能否为高维数据中全局拓扑与局部几何的分离提供一个合理的框架？
• RQ2 能否利用拓扑推断构建一个全局一致的低维嵌入，以保持非平凡拓扑结构？
• RQ3 在目标维度较低时，基于纤维的降维方法与 Isomap、t-SNE 和 UMAP 等基于度量的方法相比，在保持拓扑结构方面表现如何？
• RQ4 该方法能否在低维空间中以拓扑保真度成功嵌入非可定向流形（如克莱因瓶）？
• RQ5 该算法在噪声和异常值下的鲁棒性如何？其可扩展性如何，以处理具有变化局部维度的数据？

主要发现

• FibeRed 在比 Isomap、LTSA、HLLE、t-SNE 和 UMAP 更低的目标维度下，实现了对动力系统和化学数据的拓扑保真嵌入。
• 在克莱因瓶上，FibeRed 使用 Z/2 和 Z/3 系数成功恢复了正确的贝蒂数，证实了其拓扑保真度，而基于度量的方法在 R4 中无法保持正确的同调结构。
• 该算法在未预先知晓其拓扑结构的情况下，仅基于初始循环坐标和纤维降维，即实现了对环辛烷构象空间的 2D 参数化。
• 即使在更高维下运行，FibeRed 在保持数据基本拓扑特征方面仍优于 t-SNE 和 Isomap。
• 该方法通过拓扑约束全局对齐局部 2D 图块，实现了数据的一致制图，解决了基于度量方法中常见的对齐问题。
• 该方法具有可解释性，可视为相对于初始拓扑表示的主成分分析，提示其可推广至其他降维算法。