[论文解读] Fibered Multilinks and singularities $f \bar g$

Anne Pichon, José Seade|ArXiv.org|May 15, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 3

一句话总结

该论文证明了对于全纯芽 $f, g: (ℂ^n, 0) \to (ℂ, 0)$，当 $0$ 是孤立的临界值时，实解析芽 $f\overline{g}$ 诱导出一个 Milnor 纤维丛，从而将 Milnor 的纤维丛定理推广到更广泛的实解析奇点类。关键结果是：所有在具有正重数的管状构造 3-流形中的纤维化多重链环，均可作为此类 $f\overline{g}$ 芽的链环实现。

ABSTRACT

In this article we extend Milnor's fibration theorem for complex singularities to the case of singularities $f \bar g:(X,P) o (C,0))$ defined on a complex analytic singularity germ $(X,P)$, with $f, g$ holomorphic and $f \bar g$ having an isolated critical value at $0 \in C$. This can also be regarded as a result for meromorphic germs. Then we strenghten this fibration theorem when $X$ has complex dimension 2, obtaining a fibration theorem for multilinks that extends previous work by Pichon. We prove that the multilink $L_{f \bar g}$ in $L_X$ (the link of $X$), is fibred iff the map $f \bar g$ has an isolated critical value at $0 \in C$, and in this case the map $\frac{f \bar g}{|f \bar g|}$ defined on $L_X \setminus L_{f \bar g}$ is a multilink fibration.We also give a combinatorial criterium, easy to verify, to decide when is $L_{f \bar g}$ a fibred multilink. We finally prove a realization theorem for fibred multilinks.

研究动机与目标

• 将 Milnor 的纤维丛定理推广至形如 $f\overline{g}$ 的实解析奇点，其中 $f$ 和 $g$ 为全纯芽。
• 确定哪些在 3-流形中的纤维化多重链环可作为实解析芽 $f\overline{g}$ 的链环实现。
• 在正规复曲面奇点上，利用 $f\overline{g}$ 芽建立管状构造 3-流形中纤维化多重链环的实现定理。
• 探讨与 $f\overline{g}$ 相关的 Milnor 纤维丛的拓扑与几何性质，特别是其与开书分解和 Seifert 纤维丛的关系。
• 解决在特定条件下通过 $f\overline{g}$ 构造实现非紧致或非纤维化多重链环的开放问题。

提出的方法

• 以复奇点的 Milnor 纤维丛定理为基础，将其扩展至具有孤立临界值的实解析映射 $f\overline{g}$。
• 应用开书分解与 Seifert 纤维丛分析 $f\overline{g}$ 在 $S^3$ 和管状构造 3-流形中的链环上的纤维丛结构。
• 利用管状图与交矩阵刻画链环的拓扑，并通过条件 $m_j^{(i)} \in \mathbb{Z}$ 验证纤维性。
• 借助 G. Winters 关于复曲面退化族的结果，将多重链环实现为正规曲面奇点上全纯芽的链环。
• 利用映射 $f\overline{g}/|f\overline{g}|$ 作为 $S^1$ 上的纤维丛，实现 $L_1 \cup (-L_2)$ 为纤维化多重链环。
• 通过结合定理 7.1（纤维化多重链环的实现）与管状流形及多重链环重数的拓扑条件，证明定理 7.2。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些在管状构造 3-流形中的纤维化多重链环可作为全纯 $f, g$ 的实解析芽 $f\overline{g}$ 的链环实现？
• RQ2 当 $0$ 是孤立临界值时，$f\overline{g}$ 映射在何种条件下构成 Milnor 纤维丛？
• RQ3 所有具有正重数的纤维化多重链环是否都可作为正规复曲面奇点上 $f\overline{g}$ 芽的链环实现？
• RQ4 当 $L_1$ 和 $L_2$ 非纤维化但 $L_1 \cup (-L_2)$ 为纤维化时，会产生何种拓扑障碍？
• RQ5 当环境奇点非紧致时，$f\overline{g}$-链环的实现是否仍可能？

主要发现

• 当 $0$ 是孤立临界值时，Milnor 纤维丛定理可推广至实解析芽 $f\overline{g}$，且其纤维丛结构在 $S^1$ 上保持不变。
• 所有在管状构造 3-流形 $M$ 中具有正重数的纤维化多重链环 $L = n_1k_1 \cup \cdots \cup n_lk_l$，均可作为正规复曲面奇点上 $f\overline{g}$ 芽的链环实现。
• 若 $L_1$、$L_2$ 及 $L_1 \cup (-L_2)$ 均为纤维化，且 $M$ 同胚于紧致曲面奇点的链环，则映射 $f\overline{g}/|f\overline{g}|$ 可实现 $L_1 \cup (-L_2)$ 为纤维化多重链环。
• 多重链环为纤维化的条件等价于方程组 $M_\Gamma^t m = -b(L)$ 的解的分量 $m_j^{(i)}$ 为整数，其中 $M_\Gamma$ 为负定交矩阵。
• 当 $L_1$ 和 $L_2$ 非纤维化但 $L_1 \cup (-L_2)$ 为纤维化时，由于曲面奇点的解析类型可能不唯一，$f\overline{g}$-链环的实现问题仍为开放。
• 该构造实现了所有在 $S^3$ 中的纽结与链环作为代数链环，通过 $f\overline{g}$ 芽，推广了 A’Campo 与 Akbulut-King 的结果。