[论文解读] Fibonacci and Lucas Numbers Associated with Brocard-Ramanujan Equation

Prapanpong Pongsriiam|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文通过利用斐波那契数与卢卡斯数的性质、本原因子以及比内公式，解决了形如 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} \pm 1 = F_m^2$、$L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 及其混合变体的丢番图方程。关键成果是对所有解进行了完整分类，包括无限族解与有限个孤立解，扩展了 Marques 与 Szalay 的前期工作。

ABSTRACT

We explicitly solve the diophantine equations of the form $$ A_{n_1}A_{n_2}\cdots A_{n_k}\pm 1 = B_m^2 $$ where $(A_n)_{n\geq 0}$ and $(B_m)_{m\geq 0}$ are either the Fibonacci sequence or Lucas sequence. This extends the result of D. Marques (2011) and L. Szalay (2012) concerning a variant of Brocard-Ramanujan equation. This is a manuscript of the article published in Communications of the Korean Mathematical Society, 32(3) (2017), pp. 511-522

研究动机与目标

• 将布罗卡-拉马努金问题推广至斐波那契数与卢卡斯数的乘积形式，而非阶乘形式。
• 纠正 Marques 与 Szalay 在先前研究中关于布罗卡-拉马努金方程变体解的不准确之处。
• 对形如 $A_{n_1}A_{n_2}\cdots A_{n_k} \pm 1 = B_m^2$ 的方程提供所有解的完整分类，其中 $A_n$ 与 $B_m$ 为斐波那契数列或卢卡斯数列。
• 通过补全 Szalay 工作中遗漏的解 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ 来纠正其疏漏。

提出的方法

• 利用卡迈克尔的本原因子定理，分析斐波那契数与卢卡斯数的可除性性质。
• 应用比内公式及恒等式 $F_{m-k}F_{m+k} = F_m^2 + (-1)^{m-k+1}F_k^2$，对原方程进行变换与简化。
• 基于 $m$ 的奇偶性进行分情况讨论，分别处理 $\pm 1$ 的情形。
• 通过定理 1 的递归约化方法，排除大解，将其归约为有限种情况。
• 运用斐波那契与卢卡斯恒等式引理，将方程重写为具有已知可除性的项的乘积形式。
• 在排除大解后，通过直接计算验证小解情形（$m \leq 13$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非负整数 $n_1 \leq \cdots \leq n_k$ 与 $m \geq 0$，方程 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ 的所有解是什么？
• RQ2 在相同条件下，方程 $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 的所有解是什么？
• RQ3 是否存在混合方程如 $F_{n_1}\cdots F_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 或 $L_{n_1}\cdots L_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ 的解？
• RQ4 解 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$ 是否纠正了 Szalay 在卢卡斯数乘积研究中的遗漏？
• RQ5 除了平凡解或孤立解外，是否存在无限族解？

主要发现

• 所有方程 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} - 1 = F_m^2$ 的解已被分类：当 $m = 0,1,2$ 时存在平凡解；对于 $m \geq 4$，存在一个无限族解 $F_{m-\delta}F_{m+\delta} - 1 = F_m^2$，其中 $\delta = 1$ 若 $m$ 为奇数，$\delta = 2$ 若 $m$ 为偶数。
• 所有方程 $F_{n_1}F_{n_2}\cdots F_{n_k} + 1 = F_m^2$ 的解已被分类：平凡解包括 $F_0 + 1 = F_1^2$ 与 $F_4 + 1 = F_3^2$；对于 $m \geq 5$，存在一个无限族解 $F_{m-\varepsilon}F_{m+\varepsilon} + 1 = F_m^2$，其中 $\varepsilon = 1$ 若 $m$ 为偶数，$\varepsilon = 2$ 若 $m$ 为奇数。
• 方程 $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} + 1 = L_m^2$ 存在解 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$，该解纠正了 Szalay 早期工作中的一项遗漏。
• 对于 $L_{n_1}L_{n_2}\cdots L_{n_k} \pm 1 = L_m^2$，除小规模情形外无其他解；且 $L_{n_1}\cdots L_{n_k} + 1 = L_m^2$ 的唯一解为 $L_0L_3 + 1 = L_2^2$。
• 混合方程如 $F_{n_1}\cdots F_{n_k} \pm 1 = L_m^2$ 或 $L_{n_1}\cdots L_{n_k} \pm 1 = F_m^2$ 在 $m \geq 14$ 时无解，仅存在有限个较小的解。
• 通过本原因子与分情况讨论的证明方法，成功将所有方程约化为对 $m \leq 13$ 的有限验证，从而确认了解集的完备性。