[论文解读] Fibrant resolutions for motivic Thom spectra

Grigory Garkusha, Alexander Neshitov|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文利用 E-框架动机与框架对应关系，构建了 motivic Thom 系谱的显式纤维化解析，扩展了 Voevodsky 的框架。证明了点的 E-框架动机在有限系数下的模型为复数上的拓扑 Thom 系谱 Re^ε(E)/N，且通过 Ω-对应关系与光滑拟射影簇的序列列极限计算了代数 cobordism 系谱 MGL。

ABSTRACT

Using the theory of framed correspondences developed by Voevodsky [24] and the machinery of framed motives introduced and developed in [6], various explicit fibrant resolutions for a motivic Thom spectrum $E$ are constructed in this paper. It is shown that the bispectrum $$M_E^{\mathbb G}(X)=(M_{E}(X),M_{E}(X)(1),M_{E}(X)(2),\ldots),$$ each term of which is a twisted $E$-framed motive of $X$, introduced in the paper, represents $X_+\wedge E$ in the category of bispectra. As a topological application, it is proved that the $E$-framed motive with finite coefficients $M_E(pt)(pt)/N$, $N>0$, of the point $pt=Spec (k)$ evaluated at $pt$ is a quasi-fibrant model of the topological $S^2$-spectrum $Re^ε(E)/N$ whenever the base field $k$ is algebraically closed of characteristic zero with an embedding $ε:k\hookrightarrow\mathbb C$. Furthermore, the algebraic cobordism spectrum $MGL$ is computed in terms of $Ω$-correspondences in the sense of [15]. It is also proved that $MGL$ is represented by a bispectrum each term of which is a sequential colimit of simplicial smooth quasi-projective varieties.

研究动机与目标

• 利用 E-框架动机与框架对应关系，为 motivic Thom 系谱构建显式纤维化解析。
• 将框架动机的工具扩展至具有有界常数 d 的 Thom 系谱 E 的 E-框架动机。
• 通过具有有限系数的代数 E-框架动机，建立拓扑 Thom 系谱 Re^ε(E)/N 的几何模型。
• 通过 Ω-对应关系与光滑拟射影簇的序列列极限，计算代数 cobordism 系谱 MGL。
• 证明多个构造——C_*Fr^E(S_T)、C_*Θ^∞(E) 与 C_*Θ^∞_sym(E)——在稳定 motivic 同伦范畴中产生与 E 同伦等价的纤维化系谱。

提出的方法

• 引入 E-框架动机 M_E(X) 作为从 X 到 E_n 的扭曲 E-框架对应关系，形成双谱 |M_E^G(X) = (M_E(X), M_E(X)(1), M_E(X)(2), ...)。
• 利用 Voevodsky 的框架对应关系与 Suslin 复形构造，从 E-框架对应关系的 P^1-系谱构建谱 C_*Fr^E(S_T)。
• 对 C_*Θ^∞(E)、C_*Θ^∞_sym(E) 与 C_*Fr^E(S_T) 进行逐级 Nisnevich 局域纤维化替换，以获得 motivic 纤维化模型。
• 借助框架动机理论与 Voevodsky 引理，给出 Fr_n^E(X) = Hom(P^n, X_+ ∧ E_n) 的几何描述。
• 利用层过滤与 Mayer–Vietoris 序列分析框架谱的同伦型。
• 证明当 k 为特征零的代数闭域且有嵌入 ε: k → C 时，M_E(pt)(pt)/N 是 Re^ε(E)/N 的拟纤维化模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用 E-框架动机为 motivic Thom 系谱构建显式纤维化解析？
• RQ2 当基域嵌入 C 时，E-框架动机与有限系数下的拓扑 Thom 系谱有何关系？
• RQ3 代数 cobordism 系谱 MGL 能否通过 Ω-对应关系与光滑拟射影簇的列极限双谱来描述？
• RQ4 在稳定 motivic 同伦范畴中，谱 C_*Fr^E(S_T)、C_*Θ^∞(E)^f 与 C_*Θ^∞_sym(E)^f 之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，E-框架动机 M_E(X) 是 SH(k) 中 X_+ ∧ E 的拟纤维化模型？

主要发现

• 谱 C_*Fr^E(S_T)^f 从第 max(0, d) 项起为 motivic 纤维化谱，且对任意具有有界常数 d 的 Thom 系谱 E，其与 E 稳定同伦等价。
• 对于具有可缩交错群作用的对称 Thom 系谱 E，谱 C_*Θ^∞(E)^f 与 C_*Θ^∞_sym(E)^f 也从第 max(0, d) 项起为 motivic 纤维化谱，且与 E 稳定同伦等价。
• 当 k 为特征零的代数闭域且有嵌入 ε: k → C 时，点 pt = Spec k 的 E-框架动机 M_E(pt)(pt)/N 是拓扑 S^2-系谱 Re^ε(E)/N 的拟纤维化模型。
• 代数 cobordism 系谱 MGL 由一个双谱表示，其项为单纯光滑拟射影簇的序列列极限。
• MGL 通过 [21] 意义下的 Ω-对应关系被计算，为谱提供了通过框架对应关系实现的几何实现。
• E-框架动机及其相关双谱的构造为 motivic 同伦理论提供了新的计算框架，将框架动机理论扩展至 Thom 系谱。