[论文解读] Fibrations of $\infty$-categories

David Ayala, John Francis|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文引入了 $∞$-范畴 $‘{ m Corr}’$，即 $∞$-范畴与双模之间的范畴，证明其分类了可指数化纤维丛——推广了 Lurie 对共Cartesian 与 Cartesian 纤维丛的分类。此外，本文识别出 $‘{ m LCorr}’$ 与 $‘{ m RCorr}’$ 分别为分类左纤维丛与右纤维丛的子范畴，并证明它们携带普遍纤维丛。

ABSTRACT

We construct a flagged $\infty$-category ${\sf Corr}$ of $\infty$-categories and bimodules among them. We prove that ${\sf Corr}$ classifies exponentiable fibrations. This representability of exponentiable fibrations extends that established by Lurie of both coCartesian fibrations and Cartesian fibrations, as they are classified by the $\infty$-category of $\infty$-categories and its opposite, respectively. We introduce the flagged $\infty$-subcategories ${\sf LCorr}$ and ${\sf RCorr}$ of ${\sf Corr}$, whose morphisms are those bimodules which are \emph{left final} and \emph{right initial}, respectively. We identify the notions of fibrations these flagged $\infty$-subcategories classify, and show that these $\infty$-categories carry universal left/right fibrations.

研究动机与目标

• 构建一个带标记的 $∞$-范畴 ${\sf Corr}$，使其分类 $∞$-范畴之间的可指数化纤维丛。
• 将 Lurie 对共Cartesian 与 Cartesian 纤维丛的非展开构造推广至更广泛的可指数化纤维丛类别。
• 在 ${\sf Corr}$ 中识别出子范畴 ${\sf LCorr}$ 与 ${\sf RCorr}$，分别分类左纤维丛与右纤维丛。
• 证明 ${\sf LCorr}$ 与 ${\sf RCorr}$ 分别携带普遍左纤维丛与普遍右纤维丛。
• 在 $∞$-范畴设定下，利用双模与终性条件，建立纤维丛的同伦不变框架。

提出的方法

• 将 $∞$-范畴 ${\sf Corr}$ 构造为 $∞$-范畴及其之间双模的 Morita $∞$-范畴。
• 将可指数化纤维丛定义为那些在拉回操作下存在右伴随的纤维丛，从而确保基变换是左伴随。
• 使用非展开构造证明，到 ${\sf Corr}$ 的函子恰好对应于可指数化纤维丛。
• 通过左终与右初始的双模，引入带标记的 $∞$-子范畴 ${\sf LCorr}$ 与 ${\sf RCorr}$。
• 应用提升准则与终性结果（例如，引理 5.9 与推论 5.15），刻画函子为初始或终的条件。
• 利用伴随的复合与局部化，证明到左纤维丛与右纤维丛替换的典范函子分别为初始与终。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一个对应 $∞$-范畴对 $∞$-范畴之间的可指数化纤维丛进行分类？
• RQ2 在 $∞$-范畴设定下，可指数化纤维丛与双模之间的确切关系为何？
• RQ3 ${\sf Corr}$ 的哪些子范畴分别分类左纤维丛与右纤维丛？它们满足何种普遍性质？
• RQ4 终性与初始性条件如何在 ${\sf LCorr}$ 与 ${\sf RCorr}$ 中检测普遍纤维丛？
• RQ5 非展开构造能否超越共Cartesian 与 Cartesian 纤维丛，扩展至包含可指数化纤维丛？

主要发现

• $∞$-范畴 ${\sf Corr}$ 分类了可指数化纤维丛，推广了 Lurie 对共Cartesian 与 Cartesian 纤维丛的分类。
• ${\sf LCorr} \subset {\sf Corr}$ 子范畴分类左纤维丛，并携带一个普遍左纤维丛。
• ${\sf RCorr} \subset {\sf Corr}$ 子范畴分类右纤维丛，并携带一个普遍右纤维丛。
• 左纤维丛替换函子 $\mathcal{J} \to \mathcal{J}^{\hat{}}_{\sf l.fib}$ 是初始的，且在 $\mathcal{K}$ 上的初始函子 $∞$-子范畴中为终对象。
• 右纤维丛替换函子 $\mathcal{J} \to \mathcal{J}^{\hat{}}_{\sf r.fib}$ 是终的，且在 $\mathcal{K}$ 上的终函子 $∞$-子范畴中为终对象。
• 若映射 $\mathcal{J}_0 \times_{\mathcal{K}} \mathcal{K}_{/x} \to \mathcal{J} \times_{\mathcal{K}} \mathcal{K}_{/x}$ 为终，则可通过引理 5.9 与推论 5.15 检测其分类空间的等价性。