[论文解读] Field conserving adaptive mesh refinement (AMR) scheme on massively parallel adaptive octree meshes

Kumar Saurabh, Makrand A. Khanwale+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

Solidification and crystal growth phenomena被引用 0

一句话总结

论文介绍了一种用于并行八叉树基AMR在连续伽辽金离散化中的保持场量守恒的粗化算子，在粗化过程中确保离散全局守恒，并在Cahn–Hilliard类型系统上进行评估。

ABSTRACT

Adaptive mesh refinement (AMR) is widely used to efficiently resolve localized features in time-dependent partial differential equations (PDEs) by selectively refining and coarsening the mesh. However, in long-horizon simulations, repeated intergrid interpolations can introduce systematic drift in conserved quantities, especially for variational discretizations with continuous basis functions. While interpolation from parent-to-child during refinement in continuous Galerkin (CG) discretizations is naturally conservative, the standard injection-based child-to-parent coarsening interpolation is generally not. We propose a simple, scalable field-conserving coarsening operator for parallel, octree-based AMR. The method enforces discrete global conservation during coarsening by first computing field conserving coarse-element values at quadrature points and then recovering coarse nodal degrees of freedom via an $L^2$ projection (mass-matrix solve), which simultaneously controls the $L_2$ error. We evaluate the approach on mass-conserving phase-field models, including the Cahn--Hilliard and Cahn--Hilliard--Navier--Stokes systems, and compare against injection in terms of conservation error, solution quality, and computational cost.

研究动机与目标

• 在使用AMR进行长时多物理场模拟中推动质量守恒。
• 开发一种保守的粗化算子，确保在AMR循环中实现离散层全局守恒。
• 提供与八叉树网格上的CG离散化兼容的可扩展算法。
• 在相场模型如CH和CHNS上展示守恒性与精度的提升。

提出的方法

• 通过先在粗元素积分点强制守恒来实现字段守恒的粗化，然后通过L2投影（质量矩阵求解）在粗节点自由度上恢复。
• 要求细化（父到子）为守恒，粗化（子到父）使用对粗网格的局部L2投影，以在每个粗元素上保持全局积分。
• 构造一个限制算子，将细小单元高斯点值通过局部L2投影映射到粗单元高斯点值，在标准高斯-勒让德设置下得到对角（或易于求逆的）质量矩阵。
• 通过对粗点数据在粗有限元空间上进行全局L2投影求解（M G = b），汇聚粗节点值，确保质量守恒。
• 将该方法扩展到任意多项式阶次（Pp/Qp）和多维，通过1D限制算子的张量积，以及对二维/三维的Kronecker结构扩展。

Figure 1 : Refinement: Figure representing the refinement case. The red marker represents the extra points that are added on the refined mesh. The value of $\bigg[\int_{\Omega}g(x)\;d\Omega\bigg]_{\mathcal{M}_{O}}$ = $\bigg[\int_{\Omega}g(x)\;d\Omega\bigg]_{\mathcal{M}_{R}}$ = 10.6284 , where $\math

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在八叉树AMR的CG中实现质量守恒而不牺牲精度？
• RQ2 与基于注入的粗化相比，提出的保守粗化方案是否减少质量漂移并在长时积分中保持守恒性？
• RQ3 保守粗化对相场PDE的收敛性和计算成本有何影响？
• RQ4 该方法是否可扩展到单级AMR更新的 massively parallel 高分辨率仿真？

主要发现

• 保守粗化在AMR循环中将全局积分（质量）保持到数值精度。
• 在MMS扩散测试中，保守方案保持最优收敛率（线性≈2，二次≈3），在线性情形的误差略低于注入法。
• 在质量漂移测试中，保守方案在每次粗化步骤即可消除漂移，而注入法在网格更细时才略有改善的漂移。
• 在保守粗化下，二次和一次基函数的精度表现相近或有所提升，误差幅度差异较小。
• 该方法在CH和CHNS型模型上得到演示，突出在长时相场仿真中的质量守恒优势。

Figure 2 : Coarsening by Injection : Figure demonstrating the coarsening procedure by injection. The gray shaded region shows the area corresponding to the difference between two mesh. $\bigg[\int_{\Omega}g(x)\;d\Omega\bigg]_{\mathcal{M}_{O}}$ = 10.6284, whereas $\bigg[\int_{\Omega}g(x)\;d\Omega\big