[论文解读] Field Theory in Extra Dimensions

D. I. Kazakov|ArXiv.org|Nov 22, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文使用威爾遜重正化群方法，研究了在額外維度（D > 4）中規範場理論與超對稱場理論的可行性。在 D=6 的 N=1 超對稱規範理論中，識別出一個非微擾的紫外固定點，此時耦合常數變為無量綱，導致規範不變性與非微擾可重正化性，具有精確的 anomalous dimensions（ anomalous dimensions）與有限的有效作用量。當物質內容滿足 $ T_R < C_A $ 時，該固定點存在，理論在該點可能具有共形不變性。

ABSTRACT

We analyze the possibility to construct a self-consistent gauge field theory in $D&gt;4$. We first look for the cancellation of the UV divergences in SUSY theories. Then, following the Wilson RG approach, we study the RG equation for the gauge coupling in perturbative and nonperturbative regimes. In the first case the power low running is discussed. In the second case it is shown that there exist the ultraviolet fixed point where the gauge coupling is dimensionless in any space-time dimension. This fixed point is nonperturbative and corresponds to scale invariant theory. The same phenomenon also happens in supersymmetric theory in D=6.

研究动机与目标

• 評估是否可在 D > 4 維度中構造自洽的量子場論，特別關注紫外有限性與可重正化性。
• 研究高維度超對稱理論中的紫外發散是否可在微擾理論之外被抵消。
• 利用威爾遜重正化群方法，探討高維度規範理論中非微擾固定點的存在與性質。
• 確定在固定點處的有效作用量是否具有規範不變性，且可能具有共形不變性。
• 釐清在 D=6 與 D=10 超對稱理論中，非微擾可重正化性與有限性出現的條件。

提出的方法

• 將威爾遜重正化群（RG）框架應用於 D > 4 維度的規範理論，推導出無量綱耦合常數 $ ilde{g} = g ilde{ u}^{D/2-2} $ 的 RG 方程，其中 $ ilde{ u} $ 為重正化尺度。
• 使用維度正則化與最小減除法處理發散，以 $ g_B = ilde{g} Z_g( ilde{g}) u^{2-D/2} $ 表示裸耦合常數，其中 $ Z_g $ 僅在 $ D - 4 $ 中含有極點。
• 推導出 RG 方程 $ ilde{g} rac{d ilde{g}}{d ilde{ u}} = ilde{g} ig( rac{D}{2} - 2 + ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g ig) $，將跑動耦合與 anomalous dimension $ ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g = - ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g $ 關聯起來。
• 分析在 D=4、6、10 維度中超對稱理論的一圈紫外發散，顯示超對稱可抵消主要發散（四次、二次、對數發散），但指出高圈發散仍可能出現。
• 透過求解 $ ilde{g}^2 = -2/b $ 且 $ b < 0 $，在 D=6 N=1 超對稱理論中識別出一個非微擾紫外固定點，其中 $ b o -2(C_A - T_R) $，確保在 $ T_R < C_A $ 時固定點存在。
• 提出在固定點處的有效作用量為 $ ext{Tr}(D_ u F_{ u au})^2 $，其具有規範不變性且可能具有共形不變性，廣義化了非超對稱情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 D > 4 維度中構造出自洽的量子場論，特別是紫外有限的場論？
• RQ2 威爾遜重正化群方法是否允許耦合在紅移區呈現冪律跑動，且此結果在微擾理論之外是否可靠？
• RQ3 高維度規範理論中是否存在非微擾固定點？其性質為何？
• RQ4 在 D=6 N=1 超對稱規範理論中，於何種條件下會出現具有規範不變性的非微擾固定點？
• RQ5 在固定點處的有效作用量是否具有共形不變性？其與弦理論與臨界現象中已知結果有何關聯？

主要发现

• 在超對稱規範理論中，一輪發散在 D=4（N=4）、D=6（N=2）與 D=10（N=1）中均被抵消，但高圈對數發散仍可能出現，顯示微擾不可重正化性。
• 在威爾遜重正化群方法中，耦合常數 $ ilde{g} $ 在紅移區呈現冪律跑動，但在紫外區則不然，這是因為 D > 4 時耦合常數具有量綱。
• 在 D=6 N=1 超對稱規範理論中，當 $ b < 0 $ 時存在一個非微擾紫外固定點，對應於 $ T_R < C_A $，固定點耦合常數為 $ ilde{g}^{*2} = -2/b $。
• 在該固定點， anomalous dimension 為 $ ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g = 4 - D $，理論具有規範不變性，且有效作用量 $ ext{Tr}(D_ u F_{ u au})^2 $ 為有限。
• 在 D=10 N=1 超對稱理論中，固定點不存在，這是因為 anomalous dimension $ ilde{ u} rac{d}{d ilde{ u}} ext{ln} Z_g = 0 $，與 D > 6 維度中超共形代數不存在的結果一致。
• 在固定點處的理論可能具有共形不變性，且此類固定點的存在支持了在 D > 3 維度中存在非平凡固定點的觀點，與弦理論的預期一致。