[论文解读] Fields on the Poincare group: arbitrary spin description and relativistic wave equations

Д. М. Гитман, A. L. Shelepin|ArXiv.org|Mar 16, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 92被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于庞加莱群上标量场的群论框架，用于描述任意自旋的相对论性粒子，该框架可生成传统的张量-自旋场。通过利用对易算符和离散对称性（C、P、T）对这些标量场进行分类，作者推导出有限分量的相对论性波方程和无限分量的正能方程，包括分数自旋的情况。

ABSTRACT

In this paper, starting from pure group-theoretical point of view, we develop a regular approach to describing particles with different spins in the framework of a theory of scalar fields on the Poincare group. Such fields can be considered as generating functions for conventional spin-tensor fields. The cases of 2, 3, and 4 dimensions are elaborated in detail. Discrete transformations $C,P,T$ are defined for the scalar fields as automorphisms of the Poincare group. Doing a classification of the scalar functions, we obtain relativistic wave equations for particles with definite spin and mass. There exist two different types of scalar functions (which describe the same mass and spin), one related to a finite-dimensional nonunitary representation and another one related to an infinite-dimensional unitary representation of the Lorentz subgroup. This allows us to derive both usual finite-component wave equations for spin-tensor fields and positive energy infinite-component wave equations.

研究动机与目标

• 提供一个统一的、群论一致的框架，用于描述任意自旋的粒子，方法是利用庞加莱群上的标量场。
• 阐明庞加莱群上标量函数分类所导致的量子数的物理意义。
• 从单一形式体系中推导出有限分量的相对论性波方程和无限分量的正能方程。
• 将离散对称性（C、P、T）定义并实现为作用于标量场的庞加莱群的自同构。
• 建立庞加莱群上标量场与闵可夫斯基空间中传统张量-自旋场之间的对应关系。

提出的方法

• 使用依赖于闵可夫斯基空间坐标 $ x $ 和洛伦兹群变量 $ oldsymbol{z} $ 的标量场 $ f(x, oldsymbol{z}) $，这些场作为张量-自旋场的生成函数。
• 应用广义正则表示（GRR）和调和分析，通过庞加莱群上对易算符的本征值问题对标量场进行分类。
• 将离散对称性（C、P、T）定义为恰当庞加莱群的自同构，确保标量场空间在这些变换下保持封闭。
• 通过标量函数的分类，识别庞加莱群的不可约表示（irreps），从而构建相对论性波方程（RWEs）。
• 推导出如 $ ( ilde{p}_ u ilde{oldsymbol{ u}}^ u - sm)oldsymbol{ ilde{ u}} = 0 $ 这类矩阵形式的RWE，其中特定的伽马矩阵满足 $ ilde{ u}^ u ilde{ u}^ u = ext{diag}(k_1 - k_2) $。
• 通过适当的不可约表示和约束，将所得旋量场与已知方程（如狄拉克-菲耶尔-泡利、巴哈、拉蒂塔-施温格方程）联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 庞加莱群上的标量场如何生成具有确定自旋和质量的常规张量-自旋场？
• RQ2 通过何种群论机制，对标量函数的分类可导出庞加莱群的不可约表示？
• RQ3 如何在标量场上一致地定义离散对称性（C、P、T）作为庞加莱群的自同构？
• RQ4 在单一形式体系中，有限分量与无限分量的相对论性波方程的起源是什么？
• RQ5 在此框架中，整数自旋与半整数自旋粒子的物理性质（如能量或电荷密度的正定性）有何不同？

主要发现

• 庞加莱群上的标量场可生成有限分量或无限分量的相对论性波方程，具体取决于其对应于洛伦兹子群的有限维非幺正表示或无限维幺正表示。
• 通过使用对易算符对标量函数进行分类，可导出标准的RWE，包括狄拉克-菲耶尔-泡利、巴哈和拉蒂塔-施温格方程。
• 离散对称性C、P、T作为庞加莱群的自同构实现，具有明确的变换规则：在P变换下 $ ilde{ u}(x) o (-1)^{2s} ilde{ u}(ar{x}) $，在C变换下 $ ilde{ u}^{n_1n_2}_{k_1k_2}(x) o (-1)^{s+n_1-n_2} ilde{ u}^{n_2n_1}_{k_2k_1}(x) $。
• 对于半整数自旋，电流 $ j^0 = ar{ u} ilde{ u}^0 u $ 为正定，而标量积和能量密度为不定；对于整数自旋，情况相反。
• 该形式体系通过2+1维洛伦兹群的无限维幺正不可约表示，自然地描述了具有分数自旋的粒子。
• 电流的连续性方程 $ abla_ u j^ u = 0 $ 成立，且不变标量积为 $ ar{ u} u $，这确保了在正能情况下与概率解释的一致性。