[论文解读] FieldsX -- An extension package for the xAct tensor computer algebra suite to include fermions, gauge fields and BRST cohomology

Markus B. Fröb|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 36被引用 6

一句话总结

FieldsX 是一个 Mathematica 软件包，扩展了 xAct 张量代数套件，用于处理弯曲时空中的旋量场、规范场以及 BRST 上同调。该工具可自动计算 $\bar{\theta}\theta$ 类型的旋量乘积、通过群表示分解实现的 Fierz 恒等式，以及用于异常和规范不变算符分析的 BRST 上同调，已在 $\nabla=1$ 超杨-米尔斯理论中得到验证，实现了超对称性和共形对称性的完整符号验证。

ABSTRACT

I present the tensor computer algebra package FieldsX, which extends the xAct suite of tensor algebra packages to perform computations in field theory with fermions and gauge fields. This includes the standard tools of curved-space $γ$ matrices, Fierz identities, invariant tensors on Lie algebras, arbitrary gradings and left and right variational derivatives, as well as the decomposition of spinor products into irreducible components following the approach of d'Auria, Fré, Maina and Regge [Annals Phys. 139 (1982) 93]. Lastly, it also includes functions to work with nilpotent differentials such as the BV-BRST differential for (supersymmetric) gauge theories and to compute their (relative) cohomologies, from which anomalies and gauge-invariant operators can be determined. I illustrate the use of the package with the example of $\mathcal{N}=1$ Super-Yang--Mills theory.

研究动机与目标

• 填补 xAct 在弯曲时空下旋量场与规范场计算支持方面的空白。
• 通过 d’Auria–Fré–Maina–Regge 方法对旋量乘积进行群表示分解，实现 Fierz 恒等式操作的自动化。
• 实现 BRST 上同调的系统化计算，用于异常检测与规范不变算符识别。
• 与 xAct 现有工具（如 xPert 和 TexAct）无缝集成，支持微扰理论计算与 TeX 输出。

提出的方法

• 引入新的张量类型，用于旋量、$\bar{\theta}\theta$ 乘积以及具有李代数结构常数的规范场。
• 通过 AChristoffelCD 和 ChristoffelCD 张量实现弯曲空间中的 $\nabla$-矩阵与旋量联络。
• 应用 d’Auria–Fré–Maina–Regge 方法，利用迹恒等式将旋量双线性型分解为不可约分量。
• 通过交换子恒等式实现不变张量约化：$f_{abc} \operatorname{tr}(\mathfrak{t}^c \cdots) = \operatorname{tr}([\mathfrak{t}_a,\mathfrak{t}_b]\cdots)$。
• 集成 Multisets 软件包，高效生成 BRST 上同调的试探解。
• 支持变分演算，使用左/右导数，并通过自定义 `\cdot` 运算符处理非交换旋量乘积。

实验结果

研究问题

• RQ1 xAct 张量代数系统如何高效扩展以处理非交换旋量场与弯曲空间中的 $\nabla$-矩阵？
• RQ2 能否通过群表示分解系统地计算旋量双线性型的 Fierz 恒等式，而无需完整的 Young 投影算子分解？
• RQ3 如何在弯曲时空下对（超）规范理论实现 BRST 上同调的算法化计算？
• RQ4 该软件包能否通过自动作用量变分验证 $\nabla=1$ 超杨-米尔斯理论的超对称性与共形对称性？
• RQ5 李代数中的不变张量在简化场论拉格朗日量中结构常数乘积时起到何种作用？

主要发现

• FieldsX 通过自动变分作用量，成功验证了 $\nabla=1$ 超杨-米尔斯理论的超对称性与共形对称性。
• 该软件包以基本场与协变导数表示作用量，得到包含 12 项的规范形式，涵盖动能项、相互作用项与辅助场项。
• 通过迹恒等式自动约化结构常数的乘积，避免了显式计算 Young 投影算子。
• BRST 上同调功能可通过零幂微分算子分析，实现对异常与规范不变算符的识别。
• 该软件包与 xPert 原生集成，支持微扰计算，同时与 TexAct 集成，支持 TeX 输出，实现 Mathematica 中完整的符号工作流。
• 通过 d’Auria–Fré–Maina–Regge 分解实现旋量 Fierz 恒等式，可在无需完整不可约分解的情况下正确处理旋量乘积的分解。