[论文解读] FIFO anomaly is unbounded

Péter Fornai, Antal Iványi|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2010

Optimization and Search Problems参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文证明了FIFO页面置换算法可能遭受无界异常：增加内存大小反而会显著增加页面故障，违背直觉。作者构造了参考字符串，其异常比（大内存下的页面故障数除以小内存下的页面故障数）可超过任意有限界限，从而推翻了Belady猜想中‘该比值至多为2’的论断。

ABSTRACT

Virtual memory of computers is usually implemented by demand paging. For some page replacement algorithms the number of page faults may increase as the number of page frames increases. Belady, Nelson and Shedler constructed reference strings for which page replacement algorithm FIFO produces near twice more page faults in a larger memory than in a smaller one. They formulated the conjecture that 2 is a general bound. We prove that this ratio can be arbitrarily large.

研究动机与目标

• 推翻Belady猜想中‘FIFO异常比值上限为2’的论断。
• 证明FIFO页面置换算法的异常比值可任意大。
• 构造显式参考字符串，使其产生任意大异常比值。
• 提供一种通用算法，用于为任意期望的异常比值生成此类参考字符串。

提出的方法

• 使用伪代码算法ANOMALY构造参考字符串R，生成页面引用序列。
• 采用长度为n（奇数，n ≥ 5）的循环参考字符串，小内存使用m = n-2个帧，大内存使用n-1个帧。
• 采用控制状态机制：小内存初始化为(w3, w4, ..., wn)，大内存初始化为(2, 3, ..., n)。
• 分析FIFO下的页面故障行为，显示小内存产生n次故障，大内存产生n(n-1)/2次故障。
• 证明异常比值fFIFO(R, M)/fFIFO(R, m)随n增大趋近于(n-1)/2。
• 利用数论引理，证明FIFO下页面置换序列的周期性与模运算行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 FIFO异常比值是否可超过任意有限界限，从而反驳Belady猜想？
• RQ2 何种参考字符串构造可使FIFO的异常比值任意大？
• RQ3 异常比值如何随内存大小与参考字符串结构变化？
• RQ4 在循环参考字符串下，FIFO的异常比值最大可能为多少？

主要发现

• FIFO异常比值可被无限放大，从而推翻Belady猜想中‘其上限为2’的论断。
• 对任意大数L，均存在参数m、M及参考字符串R，使得fFIFO(R, M)/fFIFO(R, m) > L。
• 当n为奇数时，异常比值趋近于(n-1)/2，其中n为不同页面的数量。
• 该构造在n = 15时异常比值超过7（即大于2），且随n增大而无界增长。
• ANOMALY算法生成的参考字符串可迫使小内存进入特定控制状态，同时使大内存的页面故障数最大化。
• 本文证明，即使在循环参考字符串下，异常仍为无界，而循环参考字符串常被视为最坏情况。