[论文解读] Filling in pattern designs for incomplete pairwise comparison matrices: (quasi-)regular graphs with minimal diameter

Sándor Bozóki, Zsombor Szádoczki+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2020

Multi-Criteria Decision Making参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过将比较建模为最小直径的（准）正则图，提出不完整成对比较矩阵（PCMs）的最优图案设计，以减少误差传播。它识别出在给定 n（项目数量）和 k（每个项目比较次数）下，具有最小可能直径的 k-正则图和准正则图，确保偏好排序具有鲁棒性，且受比较网络中长路径累积误差的影响更小。

ABSTRACT

Multicriteria Decision Making problems are important both for individuals and groups. Pairwise comparisons have become popular in the theory and practice of preference modelling and quantification. We focus on decision problems where the set of pairwise comparisons can be chosen, i.e., it is not given a priori. The objective of this paper is to provide recommendations for filling patterns of incomplete pairwise comparison matrices (PCMs) based on their graph representation. Regularity means that each item is compared to others for the same number of times, resulting in a kind of symmetry. A graph on an odd number of vertices is called quasi-regular, if the degree of every vertex is the same odd number, except for one vertex whose degree is larger by one. If there is a pair of items such that their shortest connecting path is very long, the comparison between these two items relies on many intermediate comparisons, and is possibly biased by all of their errors. Such an example was previously found, where the graph generated from the table tennis players' matches included a long shortest path between two vertices (players), and the calculated result appeared to be misleading. If the diameter of the graph of comparisons is low as possible (among the graphs of the same number of edges), we can avoid, or, at least decrease, such cumulated errors. The aim of our research is to find graphs, among regular and quasi-regular ones, with minimal diameter. Both theorists and practitioners can use the results, given in several formats in the appendix: graph, adjacency matrix, list of edges.

研究动机与目标

• 解决由于项目之间最短路径过长而导致不完整成对比较矩阵（PCMs）中偏好排序产生偏差的问题。
• 通过减小比较图的直径来最小化误差传播，确保间接比较依赖更少的中间步骤。
• 为在无法进行完整比较的决策场景中选择最具信息量的比较模式，提供实用的图论建议。
• 聚焦于（准）正则图——每个项目被比较的次数相同——以确保比较结构的对称性和公平性。
• 系统性地识别并列出小到中等规模 n 和 k 下具有最小直径的最优图，特别是 d=2 和 d=3 的情况。

提出的方法

• 将成对比较建模为无向图，其中顶点代表项目，边代表比较。
• 使用图论概念：正则性（每个顶点度数为 k）、准正则性（除一个顶点度数为 k+1 外，其余顶点度数均为 k），以及直径（任意两点间最长最短路径）。
• 应用组合优化方法，在给定 n 和 k 的所有可能图中搜索具有最小直径的（准）正则图。
• 使用图生成工具和现有数据库（如 House of Graphs）识别并验证具有所需属性的候选图。
• 以多种格式呈现结果：邻接矩阵、边列表和 Graph6 格式，以支持软件中的直接使用。
• 通过与已知问题案例（如体育数据中的长直径图）比较，并展示改进的稳定性，验证该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在不完整成对比较矩阵中，给定顶点数 n 和度数 k 时，哪些（准）正则图结构能最小化直径？
• RQ2 如何系统性地生成并推荐能减少因间接比较链过长导致误差传播的比较模式？
• RQ3 在小到中等规模的 n 下，k-正则或准 k-正则图能达到的最小直径是多少？哪些图实现了这些最小值？
• RQ4 与常见模式（如星形图或生成树）相比，所提出的图在直径和正则性方面表现如何？
• RQ5 能否高效地生成并表示最小直径的（准）正则图，以供决策支持软件的实际应用？

主要发现

• 对于 n=20 且 k=5 的情况，识别出一个 (20,8)-非Cayley 可迁图，其直径 d=2，证明即使在复杂配置下也能实现最小直径。
• 本文提供了多种 n 和 k 下直径为 d=2 和 d=3 的（准）正则图的显式构造，表明此类图存在且可系统性生成。
• 图的直径是减少误差传播的关键因素；直径较大的图（如环）在间接比较中会导致更高的误差累积。
• 星形图虽然具有最小直径（d=2），但不是正则图，因此在正则性约束下并非最优；本文表明存在更优的替代方案。
• 结果以多种格式（邻接矩阵、边列表、Graph6）公开提供，以支持决策支持系统中的即时实现。
• 研究证实，正则性和低直径均为理想属性：它们确保比较频率的公平性以及偏好估计的鲁棒性。