[论文解读] Filter Design for Autoregressive Moving Average Graph Filters

Jiani Liu, Elvin Isufi+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2017

Advanced Graph Neural Networks参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文提出了两种新型的集中式设计方法，用于在有向图和无向图上实现自回归移动平均（ARMA）图滤波器，采用普罗尼法（Prony’s method）和一种迭代误差最小化方法，实现比有限脉冲响应（FIR）滤波器更高的逼近精度。由于具有有理频率响应和更低的实现成本，ARMA滤波器在图信号插值、压缩和预测任务中优于FIR滤波器。

ABSTRACT

In the field of signal processing on graphs, graph filters play a crucial role in processing the spectrum of graph signals. This paper proposes two different strategies for designing autoregressive moving average (ARMA) graph filters on both directed and undirected graphs. The first approach is inspired by Prony's method, which considers a modified error between the modeled and the desired frequency response. The second technique is based on an iterative approach, which finds the filter coefficients by iteratively minimizing the true error (instead of the modified error) between the modeled and the desired frequency response. The performance of the proposed algorithms is evaluated and compared with finite impulse response (FIR) graph filters, on both synthetic and real data. The obtained results show that ARMA filters outperform FIR filters in terms of approximation accuracy and they are suitable for graph signal interpolation, compression and prediction.

研究动机与目标

• 为解决有限脉冲响应（FIR）图滤波器的局限性，这些局限性包括需要高阶次且精度有限，尤其是在处理陡峭跃迁时。
• 通过在复平面单位圆上进行网格化采样，将通用最小二乘（LLS）设计策略从无向图扩展至有向图。
• 提出一种集中式ARMA图滤波器设计方法，充分利用有理频率响应以提升逼近精度。
• 在合成数据和真实数据上，评估ARMA滤波器在图信号插值、压缩和预测任务中相对于FIR滤波器的性能。
• 提供一个统一的框架，适用于有向图和无向图的ARMA滤波器设计，使用实值和复值图频率。

提出的方法

• 第一种方法受普罗尼法启发，通过基于范德蒙德矩阵的公式，最小化模型频率响应与期望频率响应之间的修正误差。
• 第二种方法采用迭代优化方法，最小化模型响应与期望响应之间的真实误差（而非代理误差）。
• 迭代算法以普罗尼法所得解作为初始值，以提升收敛性和精度。
• 设计框架支持已知图结构和通用设计，通过在实区间（无向图）或复平面单位圆（有向图）上进行均匀网格化，实现图频率的采样。
• 集中式实现通过一阶方法或共轭梯度法求解线性系统，实现ARMA滤波器输出的高效计算。
• 通过利用范德蒙德矩阵和期望响应中的对称性，该方法可处理复共轭频率对和实值频率，确保滤波器系数为实数。

实验结果

研究问题

• RQ1 ARMA图滤波器能否在具有陡峭谱跃迁的图信号上实现比FIR滤波器更高的逼近精度？
• RQ2 如何将FIR滤波器的通用设计方法扩展至使用复值图频率的有向图？
• RQ3 在逼近精度方面，集中式ARMA滤波器设计相比分布式实现有何性能提升？
• RQ4 在ARMA图滤波器设计中，对真实误差进行迭代最小化是否优于基于修正误差度量的方法？
• RQ5 在图信号处理的实际任务中，如插值、压缩和预测，ARMA滤波器与FIR滤波器相比表现如何？

主要发现

• ARMA图滤波器在逼近精度上显著优于FIR滤波器，尤其在阶跃响应等具有陡峭跃迁的响应中表现更优。
• 通过最小化真实误差，迭代ARMA滤波器设计方法优于基于普罗尼法的方法，展现出更好的收敛性和精度。
• ARMA滤波器在达到相同逼近精度时，所需滤波器阶次低于FIR滤波器，从而降低了实现成本。
• 在合成数据和真实世界数据上，ARMA滤波器在图信号插值、压缩和线性预测任务中均表现出更优性能。
• 所提出的两种设计方法在有向图和无向图上均有效，且通用设计方法成功扩展至单位圆上的复值图频率。
• 集中式实现通过高效求解线性系统，确保了滤波器输出的高精度，避免了分布式实现中常见的收敛问题。