[论文解读] Filtering of Multidimensional Stationary Sequences with Missing Observations

Oleksandr Masyutka, Mikhail Moklyachuk+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Advanced Computational Techniques in Science and Engineering参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文针对在谱确定性和谱不确定性条件下，针对存在缺失观测和加性噪声的多维平稳序列，发展了均方最优线性滤波方法。在谱确定性情况下，推导了谱特征和均方误差的公式；在谱不确定性情况下，提出了最小最大鲁棒估计技术，并给出了四种不同类别的可接受谱密度下，最不利谱密度和最小最大谱特征的显式方程。

ABSTRACT

The problem of mean-square optimal linear estimation of linear functionals which depend on the unknown values of a multidimensional stationary stochastic sequence from observations of the sequence with a noise and missing observations is considered. Formulas for calculating the mean-square errors and the spectral characteristics of the optimal linear estimates of the functionals are proposed under the condition of spectral certainty, where spectral densities of the sequences are exactly known. The minimax (robust) method of estimation is applied in the case where spectral densities are not known exactly while some sets of admissible spectral densities are given. Formulas that determine the least favorable spectral densities and minimax spectral characteristics are proposed for some special sets of admissible densities.

研究动机与目标

• 解决当观测因缺失数据而不完整且受噪声污染时，对多维平稳序列未观测值所依赖的泛函进行最优线性估计的问题。
• 在已知谱密度（谱确定性）的假设下，推导最优线性估计的谱特征和均方误差的显式公式。
• 通过应用最小最大鲁棒估计方法，将框架扩展至谱不确定性，确保在最坏情况谱密度假设下的最优性能。
• 表征四种特定类别的可接受谱密度下最不利谱密度和最小最大鲁棒谱特征。
• 提供一种系统性解决方案，利用希尔伯特空间投影和谱分解技术，在存在缺失观测和噪声的情况下对泛函进行滤波。

提出的方法

• 在具有有限二阶矩的零均值随机变量空间中，利用希尔伯特空间投影方法，推导最优线性估计。
• 通过正交随机测度 Zξ(dλ) 和 Zη(dλ) 对多维平稳序列进行谱分解，以在频域表示泛函和观测。
• 将最优估计的谱特征 h(eiλ) 作为 L2(F + G) 空间中约束优化问题的解，以确保最小均方误差。
• 通过在可接受谱密度集合上构建优化问题，应用最小最大鲁棒方法，最小化可能的最大误差。
• 通过求解次微分包含 0 ∈ ∂∆D(F⁰, G⁰)，推导最不利谱密度 F⁰(λ) 和 G⁰(λ) 的显式方程，结合拉格朗日乘子和符号函数处理约束。
• 利用误差泛函 ∆(h; F, G) 的结构，推导最优性的必要条件，导出涉及 F⁰(λ) + G⁰(λ)、谱密度边界和活动约束指示函数的矩阵方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 当观测因缺失数据而不完整且受噪声污染时，如何计算依赖于多维平稳序列未观测值的泛函的均方最优线性估计？
• RQ2 当信号和噪声的谱密度精确已知时，最优估计的谱特征和均方误差的显式公式是什么？
• RQ3 如何使滤波问题对信号和噪声谱密度的不确定性具有鲁棒性，特别是当仅知道边界或可接受密度集合时？
• RQ4 在特定类别的可接受密度（如迹有界、对角有界、矩阵范数有界、元素有界）中，使最坏情况估计误差最大化的最不利谱密度是什么？
• RQ5 在给定可接受集合内，确保在最坏情况谱密度下实现最优性能的最小最大鲁棒谱特征具有何种结构？

主要发现

• 在谱确定性下，最优估计的谱特征 h(eiλ) 通过希尔伯特空间投影推导，均方误差由涉及 A(eiλ) 和 h(eiλ) 的谱积分给出。
• 对于类别 D₁δ × DU₁V，最不利谱密度 G⁰(λ) 满足 (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = α²γ(λ)(F⁰(λ) + G⁰(λ))²，其中 |γ(λ)| ≤ 1，且满足 Tr(F⁰(λ) − F₁(λ)) 和 Tr(G⁰(λ)) 的边界约束。
• 对于类别 D₂δ × DU₂V，最不利 G⁰(λ) 由 (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = (F⁰(λ) + G⁰(λ)) {α²kγk(λ)δkl} (F⁰(λ) + G⁰(λ)) 确定，其中 γk(λ) = sign(f⁰kk(λ) − f₁kk(λ))，且满足对角约束。
• 对于类别 D₃δ × DU₃V，最不利 G⁰(λ) 满足 (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = α²γ′(λ)(F⁰(λ) + G⁰(λ))B₁⊤(F⁰(λ) + G⁰(λ))，其中 γ′(λ) = sign⟨B₁, F⁰(λ) − F₁(λ)⟩，且满足矩阵内积约束。
• 对于类别 D₄δ × DU₄V，最不利 G⁰(λ) 由 (r₀ᴳ(λ))∗(r₀ᴳ(λ))⊤ = (F⁰(λ) + G⁰(λ)) {αijγij(λ)} (F⁰(λ) + G⁰(λ)) 给出，其中 γij(λ) = sign(f⁰ij(λ) − f₁ij(λ))，且满足元素边界约束。
• 所有类别下，最优估计的最小最大鲁棒谱特征均由公式 (11) 一致确定，确保在最坏情况谱密度假设下的鲁棒性。