[论文解读] Final solution of Protasov-Comfort's problem on minimally almost periodic group topologies

Dikran Dikranjan, Dmitri Shakhmatov|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2014

Advanced Topology and Set Theory参考文献 14被引用 10

一句话总结

本文通过证明阿贝尔群在马尔科夫-泽里斯基拓扑中连通当且仅当其 admits 最小几乎周期（MinAP）群拓扑，从而完整解决了普罗塔索夫-科姆fort问题。关键结果表明，每个无界阿贝尔群，包括所有不可数的群，均 admits 这类拓扑，解决了关于阿贝尔群上 MinAP 群拓扑的存在性与实现性的长期悬而未决问题。

ABSTRACT

We prove that an abelian group admits a minimally almost periodic (MinAP) group topology if and only if it is connected in its Markov-Zariski topology. In particular, every unbounded abelian group admits a MinAP group topology. This answers positively a question set by Comfort, as well as several weaker forms proposed recently by Gabriyelyan. Using this characterization we answer also two open questions of Gould. We prove that a subgroup H of an abelian group G can be realized as the von Neumann kernel of G equipped with some Hausdorff group topology if and only if H is contained in the connected component of zero of G with respect to its Markov-Zariski topology. This completely resolves a question of Gabriyelyan, as well as some of its particular versions which were open.

研究动机与目标

• 解决关于哪些阿贝尔群 admits 最小几乎周期（MinAP）群拓扑的开放问题。
• 回答科姆伯特关于每个无界阿贝尔群是否 admits MinAP 拓扑的问题。
• 表征可作为阿贝尔群上豪斯多夫群拓扑中冯·诺伊曼核的子群。
• 为加布里利扬和戈尔德关于 MinAP 拓扑与冯·诺伊曼核的开放问题提供完整解答。
• 通过马尔科夫-泽里斯基拓扑的连通性，建立 MinAP 群拓扑的拓扑表征。

提出的方法

• 引入并分析阿贝尔群上的马尔科夫-泽里斯基拓扑，将该拓扑中的连通性定义为关键判据。
• 使用 w-可除群的概念，并通过将群稠密嵌入到 Hahn-Mal'cev 群 HM(𝕋) 的幂中，实现 MinAP 拓扑。
• 应用 T-序列与乌尔姆-卡普兰斯基不变量的理论，对具有无限首项不变量的有界阿贝尔群进行分类。
• 利用分解定理，将无界阿贝尔群拆分为有界部分与 w-可除部分，两者均 admits MinAP 拓扑。
• 利用 MinAP 群的乘积仍为 MinAP 群，且在适当条件下，MinAP 群的稠密子群也继承 MinAP 性质的事实。
• 使用 Nienhuys 群作为基础示例，处理可数群，特别是有限非零秩的群。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个无界阿贝尔群是否 admits 最小几乎周期群拓扑？
• RQ2 阿贝尔群的何种精确拓扑条件可保证 MinAP 群拓扑的存在？
• RQ3 阿贝尔群的哪些子群可作为某豪斯多夫群拓扑下的冯·诺伊曼核出现？
• RQ4 MinAP 群拓扑的表征能否推广至不可数阿贝尔群？
• RQ5 马尔科夫-泽里斯基拓扑在决定 MinAP 群拓扑存在性中起什么作用？

主要发现

• 阿贝尔群 admits 最小几乎周期群拓扑当且仅当其在马尔科夫-泽里斯基拓扑中连通。
• 每个无界阿贝尔群，无论基数如何，均 admits 最小几乎周期群拓扑。
• 阿贝尔群 $ G $ 的子群 $ H $ 可作为 $ G $ 上某豪斯多夫群拓扑的冯·诺伊曼核，当且仅当 $ H $ 位于 $ G $ 的马尔科夫-泽里斯基拓扑中零的连通分支内。
• w-可除群类包括所有非有界扭的不可数阿贝尔群，这些群可通过稠密嵌入到 HM(𝕋) 的幂中而实现 MinAP 群拓扑。
• 证明依赖于将无界阿贝尔群分解为具有无限乌尔姆-卡普兰斯基不变量的有界部分与 w-可除部分，两者均 admits MinAP 拓扑。
• 该结果解决了加布里利扬关于子群作为冯·诺伊曼核实现性的问题，并推广了关于可数群与有限生成群的早期结果。