[论文解读] Finance Market Dynamics with Option Pricing

Joseph L. McCauley, Gemunu H. Gunaratne+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 6被引用 2

一句话总结

本文提出了一种广义的期权定价模型，利用具有时间依赖和状态依赖扩散系数的马尔可夫过程的标度解，扩展了布莱克-斯科尔斯偏微分方程。该文证明，对于一大类收益率分布，所得模型在风险中性定价下仍保持为鞅，同时解释了为何在动态中引入厚尾时期权价格会发散。

ABSTRACT

We show how finance markets can be modeled empirically faithfully by using scaling solutions for Markov processes. Classes of exact scaling solutions are presented. We then show that our generalization of the Black-Scholes partial differential equation (pde) for nontrivial diffusion coefficients is equivalent to a Martingale in the risk neutral discounted stock price. Previously, this was proven for the case of the Gaussian logarithmic returns model by Harrison and Kreps, but we prove it for much a much larger class of returns models where the diffusion coefficient depends on both returns x and time t. That option prices blow up if fat tails in logarithmic returns x are included in the market dynamics is also explained.

研究动机与目标

• 开发一种超越高斯假设的更通用的金融市场价格动态建模框架。
• 将布莱克-斯科尔斯偏微分方程推广，以包含依赖于股票收益和时间的扩散系数。
• 证明广义模型在风险中性测度下对一大类收益率过程仍保持鞅性质。
• 解释在对数收益率中引入厚尾时，期权价格发散的数学根源。

提出的方法

• 推导马尔可夫过程的精确标度解，以建模金融市场价格动态。
• 将布莱克-斯科尔斯偏微分方程推广，允许扩散系数依赖于收益x和时间t。
• 应用风险中性定价理论，证明其与贴现股票价格过程中的鞅等价。
• 利用随机微积分，为非平凡的扩散系数建立鞅条件。
• 利用广义PDE框架分析厚尾对数收益率下期权价格的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用具有时间依赖和状态依赖扩散系数的马尔可夫过程来建模现实的金融市场价格动态？
• RQ2 在何种类型的收益率模型中，广义布莱克-斯科尔斯PDE在风险中性测度下仍保持鞅性质？
• RQ3 为何在对数收益率分布中引入厚尾时，期权价格会变得无界？
• RQ4 非高斯收益率动态下期权价格发散的数学机制是什么？

主要发现

• 具有时间依赖和状态依赖扩散系数的广义布莱克-斯科尔斯PDE，在风险中性贴现股票价格过程中仍等价于一个鞅。
• 该鞅等价性已被证明适用于远比以往更广泛的收益率模型类别，包括非高斯分布。
• 当对数收益率中存在厚尾时，期权价格会发散，这是由于PDE中扩散系数的影响无界增长所致。
• 标度解框架为超越高斯假设的金融市场价格动态提供了具有经验真实性的表征。