[论文解读] Finding a Winning Strategy for Wordle is NP-complete

Will Rosenbaum|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2022

Algorithms and Data Compression被引用 7

一句话总结

本文将 Wordle 形式化为一个计算决策问题，并证明：对于给定的 Wordle 实例，判断是否存在获胜策略的问题是 NP-完全的。作者通过从最小支配集问题约化来确立 NP-难性，并通过策略树数据结构证明获胜策略可在多项式时间内验证，从而确认其属于 NP。

ABSTRACT

In this paper, we give a formal definition of the popular word-guessing game Wordle. We show that, in general, determining if a given Wordle instance admits a winning strategy is NP-complete. We also show that given a Wordle instance of size $N$, a winning strategy that uses $g$ guesses in the worst case (if any) can be found in time $N^{O(g)}$.

研究动机与目标

• 将 Wordle 形式化为一个计算问题，建立精确的输入模型，包括目标词列表、允许的猜测、游戏长度。
• 研究判断给定 Wordle 实例是否存在获胜策略的计算复杂性。
• 确立判断是否存在获胜策略的问题是 NP-完全的，从而将其置于一个著名的复杂性类中。
• 证明当游戏长度 g 固定时，最优获胜策略可在 |WI|^{O(g)} 时间内找到，当 g 为常数时该时间复杂度为多项式时间。
• 将 NP 成员性结果扩展到允许猜测字典以隐式方式定义（例如通过有限自动机）的情形，即使其大小为指数级。

提出的方法

• 定义一个 Wordle 实例 WI = (Σ, d, D, W, g)，其中 Σ 为字母表，d 为单词长度，D 为允许猜测的字典，W 为可能的目标词列表，g 为最大猜测次数。
• 引入一个反馈预言机 Ω_w(u)，其返回一个长度为 d 的向量 ∈ {0,1,2}^d，编码字母位置匹配、部分匹配和不匹配情况，对重复字母进行特殊处理。
• 将策略形式化为一个确定性函数，将查询与响应的序列映射到下一个查询，成功定义为在 g 次猜测内识别出目标词。
• 使用策略树表示策略，其中每个节点对应一次查询，每条边对应一种可能的反馈响应，树的深度受限于 g。
• 通过将最小支配集（MDS）问题约化到 WinningStrategy 决策问题来证明 NP-难性，构造一个 Wordle 实例，使得当且仅当图中存在大小 ≤ K 的支配集时，存在获胜策略。
• 通过证明大小为多项式时间的策略树可作为证书，并且该树的有效性（包括在每个节点正确过滤可能的目标词）可在多项式时间内验证，从而证明 NP 成员性。

实验结果

研究问题

• RQ1 判断给定 Wordle 实例是否存在获胜策略的问题在计算上是否困难？
• RQ2 是否存在高效验证获胜策略的方法，且该问题是否属于 NP？
• RQ3 当游戏长度 g 固定时，寻找最优获胜策略的计算复杂性是什么？
• RQ4 当允许猜测集合以隐式方式定义（例如通过有限自动机）而非显式定义时，NP-完全性结果是否仍然成立？

主要发现

• WinningStrategy 决策问题——即判断给定 Wordle 实例是否存在获胜策略——是 NP-完全的。
• 通过从最小支配集问题约化，确立了 WinningStrategy 的 NP-难性，表明求解 Wordle 策略问题至少与求解 MDS 一样困难。
• 该问题属于 NP，因为获胜策略可表示为大小为多项式时间的策略树，且可通过过滤过程在多项式时间内验证其正确性。
• 对于任意游戏长度 g 固定的 Wordle 实例，最优获胜策略可在 |WI|^{O(g)} 时间内找到，当 g 为常数时该时间复杂度为多项式时间。
• NP 成员性结果可扩展至允许猜测字典以隐式方式定义（例如通过有限自动机）的广义 Wordle 实例，即使 |D| 在输入大小上为指数级。
• 该结果确认了即使在 Lokshtanov 和 Subercaseaux（2022）的开放问题 3 所考虑的更一般模型下，该问题仍属于 NP，从而解决了他们的开放问题 1。