[论文解读] Finding and Counting Patterns in Sparse Graphs

Balagopal Komarath, Anurag Pandey+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2020

Advanced Graph Theory Research参考文献 40被引用 3

一句话总结

该论文通过图参数——分别为模式图的树深度、路径宽和树宽——精确刻画了同态多项式在单调代数复杂度度量（公式、ABP 和电路复杂度）上的紧致特征。该研究统一了已知的复杂度类分离结果，并为稀疏图中的子图和诱导子图同构问题提供了高效且空间最优的算法。

ABSTRACT

We consider algorithms for finding and counting small, fixed graphs in sparse host graphs. In the non-sparse setting, the parameters treedepth and treewidth play a crucial role in fast, constant-space and polynomial-space algorithms respectively. We discover two new parameters that we call matched treedepth and matched treewidth. We show that finding and counting patterns with low matched treedepth and low matched treewidth can be done asymptotically faster than the existing algorithms when the host graphs are sparse for many patterns. As an application to finding and counting fixed-size patterns, we discover Õ(m³)-time, constant-space algorithms for cycles of length at most 11 and Õ(m²)-time, polynomial-space algorithms for paths of length at most 10.

研究动机与目标

• 使用图参数对同态多项式的单调代数复杂度进行刻画。
• 在单一框架下统一代数复杂度与图算法中分散的研究成果。
• 为子图和诱导子图同构检测开发时间与空间高效的算法。
• 利用著名的组合问题建立单调电路、ABP 和公式之间的超多项式分离。
• 为常数度多项式提供一种新的、统一的细粒度分离方法。

提出的方法

• 使用同态多项式编码从固定模式图 H 到 n 个顶点的宿主图的所有同态映射。
• 将图参数——树深度、路径宽和树宽——分别用作单调公式、ABP 和电路复杂度的精确刻画。
• 通过 Hall 定理的匹配型下界论证，证明电路的最优性。
• 利用对数空间构造的解析树和算术电路，实现空间高效的算法。
• 通过线性组合将诱导子图同构问题约化为同态计数问题，其中 Kk 为特例。
• 使用模计数和随机约化，在有界空间内模拟诱导子图检测。

实验结果

研究问题

• RQ1 单调代数复杂度度量与图结构参数之间有何关系？
• RQ2 同态多项式能否统一已知的单调电路、ABP 和公式模型之间的分离结果？
• RQ3 在稀疏图中，子图和诱导子图同构的精确复杂度是多少？
• RQ4 能否从同态多项式框架中导出高效的时间-空间算法？
• RQ5 检测不同诱导模式的复杂度是否存在本质差异？

主要发现

• 同态多项式的单调公式复杂度由模式图的树深度精确刻画。
• 同态多项式的单调 ABP 复杂度与模式图的路径宽精确对应。
• 同态多项式的单调电路复杂度由模式图的树宽精确刻画。
• 该框架通过自然的组合问题实现了单调电路、ABP 和公式之间的超多项式分离。
• 对于任意 k 个顶点的模式图 H ≠ Kk，存在一种组合算法，可在 O(n^{k-1}) 时间和 O(log²n) 空间内计数同构于 H 的子图。
• 若存在一个 t(n)/s(n) 算法用于 H，则任意 k 个顶点的 H 的诱导子图同构数量可在 O(t(n) + n^{k-1}) 时间和 O(s(n) + log²n) 空间内计算。