[论文解读] Finding Angles for Quantum Signal Processing with Machine Precision

Rui Chao, Dawei Ding+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 28被引用 35

一句话总结

本文提出基于半分法的算法和大写化技术，用于在双精度算术下计算量子信号处理的角序列，从而高效实现高阶变换（如哈密顿量模拟）。

ABSTRACT

We describe an algorithm for finding angle sequences in quantum signal processing, with a novel component we call halving based on a new algebraic uniqueness theorem, and another we call capitalization. We present both theoretical and experimental results that demonstrate the performance of the new algorithm. In particular, these two algorithmic ideas allow us to find sequences of more than 3000 angles within 5 minutes for important applications such as Hamiltonian simulation, all in standard double precision arithmetic. This is native to almost all hardware.

研究动机与目标

• 为量子信号处理（QSP）和QSVT中寻找角序列的问题提供动机并形式化表述。
• 发展新的代数学工具（凯莱-狄克逊代数）以实现稳定的角分解。
• 引入基于唯一分解的半分解步骤以实现半分解，并通过大写化来提高数值稳定性。
• 通过在标准双精度下实现包含数千个角的序列，展示实际可扩展性。

提出的方法

• 将QSP建模为在以 w 和 w^{-1} 为变量的 Laurent 多项式上的 2x2 矩阵的完备化与分解。
• 使用 Low 与 Haah 代数来捕捉与 QSP 相关的单位对称元素。
• 提出一种基于半分解的分解，将一个次数为 d 的单位矩阵分成两半并保证唯一性（推论9）。
• 引入大写化，在 F(w) 前置导出项以在计算过程中提高数值稳定性。
• 通过根查找求解完成化，以获得实 Laurent 多项式 G，使得 F(w)F(w^{-1})+G(w)G(w^{-1})=1。
• 提供一个递归分解算法（算法1），利用最小二乘法来强制奇偶性和单位性约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在稳定、可扩展的经典算法，在机器精度下为 QSP/QSVT 找到角序列？
• RQ2 半分解是否提供了一个独特的、树状结构的分解，从而在数值稳定性上优于以前的方法？
• RQ3 大写化如何影响大次数 QSP 转换的数值稳定性和实际运行时间？
• RQ4 使用所提方法在哈密顿量模拟中可达到的实际极限（次数/长度）是什么？
• RQ5 Low 与 Haah 代数如何促进高效构造 QSP 角序列？

主要发现

• 在标准双精度下，5分钟内实现包含超过3000个角的序列的构建。
• 半分解以二叉树方式提供唯一分解，在数值稳定性方面优于顺序方法。
• 大写化显著提升经验稳定性，使实际处理更高次数的多项式成为可能。
• 证明了在哈密顿量模拟中的适用性，演化时间比前期工作长两个数量级。
• 用开源代码实现该方法，以促进可重复性和更广泛的采用。