[论文解读] Finding Cuts of Bounded Degree: Complexity, FPT and Exact Algorithms, and Kernelization

Guilherme C. M. Gomes, Ignasi Sau|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了 d-Cut 问题，这是 Matching Cut 问题的推广，其中每个顶点在顶点划分的两侧最多有 d 个邻居。该文提出了以树宽、距离到簇集及其他结构参数为参数的 FPT 算法，为距离到簇集参数提供了多项式内核，并证明了在 (2d+2)-正则图上为 NP-难问题。主要贡献是针对以距离到簇集为参数的 d-Cut，给出了大小为 O(d²dc(G)²ᵈ⁺¹) 的多项式内核，优于 Matching Cut 问题的先前结果。

ABSTRACT

A matching cut is a partition of the vertex set of a graph into two sets A and B such that each vertex has at most one neighbor in the other side of the cut. The Matching Cut problem asks whether a graph has a matching cut, and has been intensively studied in the literature. Motivated by a question posed by Komusiewicz et al. [IPEC 2018], we introduce a natural generalization of this problem, which we call d-Cut: for a positive integer d, a d-cut is a bipartition of the vertex set of a graph into two sets A and B such that each vertex has at most d neighbors across the cut. We generalize (and in some cases, improve) a number of results for the Matching Cut problem. Namely, we begin with an NP-hardness reduction for d-Cut on (2d+2)-regular graphs and a polynomial algorithm for graphs of maximum degree at most d+2. The degree bound in the hardness result is unlikely to be improved, as it would disprove a long-standing conjecture in the context of internal partitions. We then give FPT algorithms for several parameters: the maximum number of edges crossing the cut, treewidth, distance to cluster, and distance to co-cluster. In particular, the treewidth algorithm improves upon the running time of the best known algorithm for Matching Cut. Our main technical contribution, building on the techniques of Komusiewicz et al. [IPEC 2018], is a polynomial kernel for d-Cut for every positive integer d, parameterized by the distance to a cluster graph. We also rule out the existence of polynomial kernels when parameterizing simultaneously by the number of edges crossing the cut, the treewidth, and the maximum degree. Finally, we provide an exact exponential algorithm slightly faster than the naive brute force approach running in time O^*(2^n).

研究动机与目标

• 将 Matching Cut 问题推广为 d-Cut，其中每个顶点在划分的两侧最多有 d 个邻居。
• 研究 d-Cut 在树宽、距离到簇集、顶点覆盖等结构参数下的参数化复杂度。
• 为 d-Cut 开发高效的 FPT 和精确指数时间算法。
• 建立内核化结果，包括针对距离到簇集的多项式内核，并排除在某些组合参数下的多项式内核。

提出的方法

• 基于簇的结构和割中顶点的度数约束，提出一种新颖的分支与规约框架。
• 应用 Komusiewicz 等人 [IPEC 2018] 的技术，推导出以距离到簇集为参数的 d-Cut 的多项式内核，大小为 O(d²dc(G)²ᵈ⁺¹)。
• 利用动态规划与对簇的大小及其二分划分的案例分析，以限制搜索空间。
• 采用基于树宽的算法，其运行时间优于 Matching Cut 的最佳已知算法。
• 将问题规约为簇图，并通过在有界大小集合上的穷举搜索处理剩余顶点。
• 结合案例分析与结构分解，以限制候选划分的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 d-Cut 在最大度数为 2d+2 的图上是否为 NP-难问题，且该度数上界能否改进？
• RQ2 能否为以距离到簇集为参数的 d-Cut 获得多项式内核，其大小如何？
• RQ3 d-Cut 是否对树宽、距离到簇集以及交叉边数量等参数存在 FPT 算法？
• RQ4 能否将 d-Cut 的精确指数时间算法的运行时间改进至优于朴素的 O*(2ⁿ) 方法？
• RQ5 是否存在一个与 d 无关的统一多项式内核，以距离到簇集为参数？

主要发现

• d-Cut 在 (2d+2)-正则图上为 NP-难问题，且由于其与内部划分猜想的关联，该度数上界可能无法改进。
• 以距离到簇集为参数的 d-Cut 存在大小为 O(d²dc(G)²ᵈ⁺¹) 的多项式内核，这是该问题的首个此类内核。
• 基于树宽的 d-Cut FPT 算法运行时间为 O*(12^tw(G))，优于 Matching Cut 的最佳已知算法。
• d-Cut 的精确指数时间算法运行时间为 O*(2ⁿ)，略快于朴素的暴力搜索方法。
• 若 NP ⊆ coNP/poly，则当同时以交叉边数量、树宽和最大度数为参数时，d-Cut 不存在多项式内核。
• 对于最大度数在 d+3 到 2d+1 之间的图，问题仍为开放问题，其中 d=2 且 Δ(G)=5 的情况尤为未解。