[论文解读] Finding Descriptions of Polytopes via Extended Formulations and Liftings

Volker Kaibel, Andreas Loos|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2011

Optimization and Packing Problems参考文献 6被引用 11

一句话总结

本文提出一种基于提升的算法，从扩展形式推导多面体的线性描述，利用提升函数将点映射回原始空间，同时保持有效性。该技术为路径集多面体和小团多面体提供了新的、更简洁的证明，并首次给出了轨道背包（orbisacks）——在整数规划对称性破缺中出现的特殊背包多面体——的显式线性描述。

ABSTRACT

We describe a technique to obtain linear descriptions for polytopes from extended formulations. The simple idea is to first define a suitable lifting function and then to find linear constraints that are valid for the polytope and guarantee lifted points to be contained in the extension. We explain the technique at an example from the literature (matching polytopes), obtain new simple proofs of results on path-set polytopes and small-cliques polytopes, and finally exploit the technique in order to derive linear descriptions of orbisacks, which are special Knapsack polytopes arising in the context of symmetry breaking in integer programming problems.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，从扩展形式推导多面体的线性描述，尤其在直接计算投影锥困难时适用。
• 通过路径集和小团多面体的已知结果的替代且更简洁的证明，展示该方法的实用性。
• 利用提升技术，首次推导出轨道背包——在整数规划对称性破缺中出现的背包多面体——的显式线性描述。
• 突出提升方法相较于传统投影锥方法的优势，特别是在利用顶点信息构造有效不等式方面。
• 建立一个简化多面体描述推导的框架，重点在于提升函数及其与扩展形式的兼容性。

提出的方法

• 在包含目标多面体 P 的集合 R ⊆ R^n 上定义一个提升函数 λ: R → Rd，使得对所有 x ∈ R，有 σ(λ(x)) = x，其中 σ 为投影映射。
• 确保提升点 λ(x) 位于扩展形式 Q ⊆ Rd 内，使得 x ∈ P 当且仅当 λ(x) ∈ Q。
• 通过识别所有满足 x ∈ P 时 λ(x) 的约束，推导出 P 的有效线性不等式。
• 利用扩展形式 Q 的结构（例如，加倍图上的完美匹配多面体）指导提升函数的构造。
• 通过分析目标多面体的顶点集和面维数，验证推导出的不等式既必要又充分。
• 利用顶点的组合特征（例如，轨道背包中的关键行和块不等式）证明不等式的面定义性质及非冗余性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地利用扩展形式，从扩展形式推导原始空间中多面体的线性描述，而无需计算投影锥？
• RQ2 提升方法能否为路径集和小团多面体的已知多面体结果提供更简单、更直观的证明？
• RQ3 轨道背包的线性描述结构如何？如何通过从扩展形式进行提升来推导该结构？
• RQ4 在概念清晰度和计算可行性方面，提升方法相较于传统投影锥方法有何优势？
• RQ5 如何利用扩展形式中的基于顶点的信息，构造一个保持多面体结构的合法提升函数？

主要发现

• 该提升方法为从扩展形式推导线性描述提供了一种新方法，概念上比经典的投影锥方法更简单。
• 该方法通过利用提升函数和顶点分析，为路径集多面体和小团多面体的线性描述提供了新的简洁证明。
• 本文首次使用提升技术，推导出轨道背包——特殊背包多面体——的完整且非冗余的线性描述。
• 分析表明，当 (i,j) = (1,1) 或 (1,2) 时，不等式 x_{i,j} ≥ 0 和 x_{i,j} ≤ 1 对轨道背包不是面定义不等式，因为其对应面包含于更高维面中。
• 由块约束导出的其他所有不等式均为面定义不等式，因为其对应面的维数为 2p−1，且不被包含于任何其他面中。
• 与可行向量 τ ∈ {0,1,2,3}^p 关联的顶点集 X(τ) 不被包含于任何由平凡不等式定义的面中，也不被包含于任何 τ' ≠ τ 的其他 X(τ') 中，从而证明了块不等式的非冗余性。