[论文解读] Finding direct product decompositions in polynomial time

James B. Wilson|arXiv (Cornell University)|May 4, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 30被引用 19

一句话总结

本文提出了一种确定性多项式时间算法，用于通过利用双线性映射、交换环和群簇，计算置换群的Remak分解——即将其分解为不可约因子。关键贡献是通过一个典范交换环 $C(P)$ 对2类 $p$-群进行刻画，从而能够通过环论方法而非暴力搜索实现高效分解。

ABSTRACT

A polynomial-time algorithm is produced which, given generators for a group of permutations on a finite set, returns a direct product decomposition of the group into directly indecomposable subgroups. The process uses bilinear maps and commutative rings to characterize direct products of p-groups of class 2 and reduces general groups to p-groups using group varieties. The methods apply to quotients of permutation groups and operator groups as well.

研究动机与目标

• 开发一种用于计算置换群Remak分解的多项式时间算法。
• 克服由于 $p$-群中正规子群数量呈指数级增长而导致直接因子搜索计算不可行的问题。
• 通过群簇和可计算的正规子群，将解法推广至置换群和算子群的商群。
• 提供适用于矩阵群及其他计算群设置的统一框架。
• 通过正则表示，为以乘法表给出的群建立近乎线性时间的解法。

提出的方法

• 利用双线性映射 $\mathsf{Bi}(P)$ 及其关联的交换环 $C(P)$ 对2类 $p$-群进行刻画，其中 $C(P \times Q) \cong C(P) \oplus C(Q)$。
• 利用 $C(P)$ 的结构识别不可约的 $p$-群：当且仅当 $C(P)$ 是局部环且 $\zeta_1(P) \leq \Phi(P)$ 时，$P$ 是不可约的。
• 通过群簇和词性/边际子群将一般群约化为 $p$-群，从而借助 $p$-群分析实现分解。
• 应用交换环的多项式时间算法（Ronyai [29]）计算 $C(P)$ 的完全细化分解，该分解可提升为 $P$ 的Remak分解。
• 使用Kantor-Luks商群算法处理置换群的商群，依赖于有限单群分类定理。
• 通过基于格的子群合并算法，将部分分解合并，构造最终分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管 $p$-群中正规子群数量呈指数级增长，是否仍可在多项式时间内计算置换群的Remak分解？
• RQ2 双线性映射和交换环如何用于刻画2类 $p$-群中的直积分解？
• RQ3 群簇和词性子群在将一般群分解问题约化为 $p$-群中的作用是什么？
• RQ4 当群以乘法表给出时，是否存在近乎线性时间的Remak分解算法？
• RQ5 该算法能否通过统一框架扩展至算子群和矩阵群？

主要发现

• 存在一种确定性多项式时间算法，可用于计算任意置换群的Remak分解。
• 该算法在一次遍历中构建完整的Remak分解，无需先显式寻找各个直接因子。
• 对于2类 $p$-群，当且仅当 $C(P)$ 是局部环且 $\zeta_1(P) \leq \Phi(P)$ 时，$P$ 是不可约的，且当 $P^p = 1$ 时，逆命题中等式成立。
• 该方法可通过群簇理论推广至置换群和算子群的商群。
• 对于以乘法表给出的群，通过正则表示嵌入，可实现近乎线性时间算法。
• 该算法具有鲁棒性，并可扩展至矩阵群，如推论6.6所示，且保持相同的复杂度保证。