[论文解读] Finding Diverse Minimum s-t Cuts

Mark de Berg, Andrés López Martínez+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Advanced Graph Theory Research被引用 1

一句话总结

本文引入并研究了k-多样最小s-t割问题，提出高效算法以通过两种度量（成对和多样性与覆盖多样性）在最小s-t割集合中最大化多样性。证明了这些度量可通过子模函数最小化在强多项式时间内求解，利用分配格的代数结构；同时表明瓶颈多样性度量（最小成对汉明距离）即使在k=3时也是NP难的。

ABSTRACT

Recently, many studies have been devoted to finding diverse solutions in classical combinatorial problems, such as Vertex Cover (Baste et al., IJCAI'20), Matching (Fomin et al., ISAAC'20) and Spanning Tree (Hanaka et al., AAAI'21). Finding diverse solutions is important in settings where the user is not able to specify all criteria of the desired solution. Motivated by an application in the field of system identification, we initiate the algorithmic study of k-Diverse Minimum s-t Cuts which, given a directed graph G = (V, E), two specified vertices s,t ∈ V, and an integer k > 0, asks for a collection of k minimum s-t cuts in G that has maximum diversity. We investigate the complexity of the problem for two diversity measures for a collection of cuts: (i) the sum of all pairwise Hamming distances, and (ii) the cardinality of the union of cuts in the collection. We prove that k-Diverse Minimum s-t Cuts can be solved in strongly polynomial time for both diversity measures via submodular function minimization. We obtain this result by establishing a connection between ordered collections of minimum s-t cuts and the theory of distributive lattices. When restricted to finding only collections of mutually disjoint solutions, we provide a more practical algorithm that finds a maximum set of pairwise disjoint minimum s-t cuts. For graphs with small minimum s-t cut, it runs in the time of a single max-flow computation. These results stand in contrast to the problem of finding k diverse global minimum cuts - which is known to be NP-hard even for the disjoint case (Hanaka et al., AAAI'23) - and partially answer a long-standing open question of Wagner (Networks 1990) about improving the complexity of finding disjoint collections of minimum s-t cuts.

研究动机与目标

• 为解决用户无法完全指定期望解标准时，选择k个多样化的最小s-t割的挑战。
• 使用三种自然度量正式化最小s-t割中的多样性：成对和多样性、覆盖多样性与瓶颈多样性。
• 研究在每种多样性度量下寻找k个多样化最小s-t割的计算复杂性。
• 为寻找不相交的最小s-t割集合开发实用且高效的算法，尤其适用于最小割大小较小的图。
• 解决一个长期开放的问题：改进寻找不相交最小s-t割的复杂性，与全局最小割的已知NP难性形成对比。

提出的方法

• 使用三种度量正式化多样性：成对汉明距离之和（dsum）、并集大小（dcov）和最小成对汉明距离（dmin）。
• 证明dsum和dcov多样性最大化可通过子模函数最小化在强多项式时间内求解。
• 建立最小s-t割有序集合与分配格理论之间的联系，以实现高效优化。
• 设计一种更实用的算法，用于寻找最大数量的两两不相交最小s-t割，当最小割值较小时，其时间复杂度为一次最大流计算的时间。
• 将二分图中的约束顶点覆盖问题归约为dmin多样性最大化问题，证明当k=3时该问题为NP难。
• 通过将一个2-固定3-DMC实例转换为Min-3-DMC实例，利用从约束顶点覆盖问题的归约，证明NP难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 k-多样最小s-t割问题在成对和多样性度量下能否高效求解？
• RQ2 覆盖多样性度量是否适用于最小s-t割情境下的多项式时间优化？
• RQ3 在k-多样最小s-t割中，最大化瓶颈多样性（最小成对汉明距离）的复杂性如何？
• RQ4 能否开发出比通用多样性最大化更快的算法，用于寻找不相交的最小s-t割集合？
• RQ5 最小s-t割的代数结构是否能支持超越标准子模最小化的高效优化？

主要发现

• 使用子模函数最小化，k-多样最小s-t割问题在成对和多样性（dsum）下可于强多项式时间内求解。
• 覆盖多样性（dcov）变体也可通过相同的子模优化框架在强多项式时间内求解。
• 存在一种更实用的算法，用于寻找最大数量的两两不相交最小s-t割，当图的最小s-t割大小较小时，其运行时间等价于单次最大流计算的时间。
• 瓶颈多样性度量（dmin）即使在k=3时也导致NP难问题，通过从二分图中的约束顶点覆盖问题归约证明。
• 本研究解决了Wagner（1990）长期悬而未决的开放问题，即改进寻找不相交最小s-t割的复杂性，表明在特定多样性度量下是可行的。
• 研究揭示，最小s-t割的代数结构，特别是其格性质，可为某些多样性目标提供高效优化支持。