[论文解读] Finding Diverse Strings and Longest Common Subsequences in a Graph

Yuto Shida, Giulia Punzi+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Algorithms and Data Compression被引用 1

一句话总结

本文在汉明距离下引入并分析了最大和与最大-最小多样化的最长公共子序列（LCS）问题，证明当LCS候选数K有界时，两者均可在多项式时间内求解；当K无界时，两者均为NP难问题，并且最大和问题存在PTAS。结果基于通用的基于DAG的字符串表示模型建立，通过从最大-最小多样化字符串集问题的约化，证明了在显式字符串输入下NP难性。

ABSTRACT

In this paper, we study for the first time the Diverse Longest Common Subsequences (LCSs) problem under Hamming distance. Given a set of a constant number of input strings, the problem asks to decide if there exists some subset X of K longest common subsequences whose diversity is no less than a specified threshold Δ, where we consider two types of diversities of a set X of strings of equal length: the Sum diversity and the Min diversity defined as the sum and the minimum of the pairwise Hamming distance between any two strings in X, respectively. We analyze the computational complexity of the respective problems with Sum- and Min-diversity measures, called the Max-Sum and Max-Min Diverse LCSs, respectively, considering both approximation algorithms and parameterized complexity. Our results are summarized as follows. When K is bounded, both problems are polynomial time solvable. In contrast, when K is unbounded, both problems become NP-hard, while Max-Sum Diverse LCSs problem admits a PTAS. Furthermore, we analyze the parameterized complexity of both problems with combinations of parameters K and r, where r is the length of the candidate strings to be selected. Importantly, all positive results above are proven in a more general setting, where an input is an edge-labeled directed acyclic graph (DAG) that succinctly represents a set of strings of the same length. Negative results are proven in the setting where an input is explicitly given as a set of strings. The latter results are equipped with an encoding such a set as the longest common subsequences of a specific input string set.

研究动机与目标

• 形式化并分析在汉明距离下寻找多样化最长公共子序列（LCS）集合的计算复杂性。
• 研究以K（LCS候选数）和r（候选字符串长度）为参数的Max-Sum与Max-Min多样化LCS问题的参数复杂性。
• 在DAG表示和显式给出的字符串输入下，建立多样化LCS问题的近似与精确算法。
• 证明当K无界时，Max-Sum多样化LCS问题存在多项式时间近似方案（PTAS）。
• 通过从最大-最小多样化字符串集问题的约化，证明当K无界时，两个问题均为NP难。

提出的方法

• 形式化两种多样性度量：在等长字符串集合上的总汉明距离（和多样性）与最小汉明距离（最小多样性）。
• 通过边带标签的有向无环图（DAG）表示输入字符串，以实现对指数级LCS候选数的紧凑表示。
• 在带标签DAG上使用二分图匹配来建模公共子序列，非交叉匹配对应于有效的LCS。
• 应用FPT约化技术，证明NP难性，并从最大-最小多样化字符串集问题到最大-最小多样化LCS问题的FPT约化。
• 通过利用DAG中LCS的结构特性和对子图的动态规划，构建Max-Sum多样化LCS的PTAS。
• 采用关键变换：将字符串X_i映射为扩展字符串T_j = P_j · X_j · Q_j，其长度为r + 2s，使得dH(T_i, T_j) = dH(X_i, X_j) + 2s，从而保持并放大汉明距离。

实验结果

研究问题

• RQ1 Max-Sum多样化LCS问题在参数K和r下是否为固定参数可追踪（FPT）？
• RQ2 当K有界与无界时，Max-Min多样化LCS问题的计算复杂性如何？
• RQ3 Max-Sum多样化LCS问题能否在任意常数因子内近似，且是否具有PTAS？
• RQ4 在LCS选择背景下，和多样性与最小多样性度量在汉明距离下如何表现？
• RQ5 是否存在从最大-最小多样化字符串集问题到最大-最小多样化LCS问题的约化，且能保持解的多样性？

主要发现

• 当K有界时，Max-Sum与Max-Min多样化LCS问题均可在多项式时间内求解。
• 当K无界时，两个问题均为NP难，即使输入为显式字符串集合。
• Max-Sum多样化LCS问题存在多项式时间近似方案（PTAS），即可在多项式时间内近似至任意(1−ε)因子内。
• Max-Min多样化LCS问题即使限制在两个输入字符串时仍为NP难，通过从最大-最小多样化字符串集问题的约化证明。
• 关键变换将每个字符串X_i映射为扩展字符串T_j = P_j · X_j · Q_j（长度为r + 2s），使得dH(T_i, T_j) = dH(X_i, X_j) + 2s，从而保持并放大多样性。
• 从最大-最小多样化字符串集问题到最大-最小多样化LCS问题的约化既是NP约化也是FPT约化，确立了LCS变种的难解性。