[论文解读] Finding heaviest H-subgraphs in real weighted graphs, with applications

Virginia Vassilevska, Ryan Williams+1 more|ArXiv.org|Sep 4, 2006

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用 6

一句话总结

本论文提出了一类强多项式算法，用于在实数权值图中利用快速矩阵乘法寻找最重的 H-子图，显著改进了顶点加权和边加权情形下的时间复杂度。对于顶点加权图，该文提出了一种 O(n^{t(ω,h)}) 算法来解决所有点对的最大 H-子图问题，其中 t(ω,h) 由整数规划导出；对于最重三角形，利用长方矩阵乘法实现了 O(n^{2.575}) 的时间复杂度，显著优于先前的界限。

ABSTRACT

For a graph G with real weights assigned to the vertices (edges), the MAX H-SUBGRAPH problem is to find an H-subgraph of G with maximum total weight, if one exists. The all-pairs MAX H-SUBGRAPH problem is to find for every pair of vertices u,v, a maximum H-subgraph containing both u and v, if one exists. Our main results are new strongly polynomial algorithms for the all-pairs MAX H-SUBGRAPH problem for vertex weighted graphs. We also give improved algorithms for the MAX-H SUBGRAPH problem for edge weighted graphs, and various related problems, including computing the first k most significant bits of the distance product of two matrices. Some of our algorithms are based, in part, on fast matrix multiplication.

研究动机与目标

• 开发高效算法，用于在实数权值图中寻找最重的 H-子图，其中 H 是一个固定的较小图。
• 将快速矩阵乘法技术扩展至加权子图问题，特别是顶点加权和边加权情形。
• 解决最大 H-子图问题的所有点对版本，即对每对顶点，找出同时包含这两点的最重 H-子图。
• 改进现有算法在相关问题上的表现，例如在边染色图中检测单色或彩虹子图。
• 实现真正亚立方时间复杂度，用于计算实矩阵距离积的最高有效位。

提出的方法

• 通过定义一个小型整数优化问题来计算控制运行时间的指数 t(ω,h)，将问题归约为矩阵乘法。
• 对于顶点加权图，该方法涉及将 H 的顶点集划分为三部分，并利用布尔矩阵乘积检测 H 的单色标记副本。
• 该方法利用快速长方矩阵乘法来改进指数 t(ω,h)，从而获得比标准方阵乘法更快的运行时间。
• 对于边加权图，该方法结合基于颜色的划分与矩阵乘法，以检测固定长度的最重环。
• 该算法通过按颜色划分边，并对每个颜色类分别应用子图检测技术，来处理边染色图。
• 该方法依赖于加法-比较模型，确保强多项式性，并适用于实数权重，无需浮点数假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在所有点对最大 H-子图问题的时间复杂度 O(n^{t(ω,h)}) 中，将指数 t(ω,h) 的界进一步改进？
• RQ2 能否消除在边加权图中检测长度为 2k 或 2k−1 的最重环的时间复杂度中的对数因子？
• RQ3 能否在 O(n^ω) 时间内检测单色三角形，与无权情形一致？还是 O(n^{(3+ω)/2}) 是最优可能？
• RQ4 能否使用类似技术在 Õ(n^ω) 时间内计算 n 个点在 n 维空间中的支配矩阵？
• RQ5 该框架能否被扩展以同样高效地解决最小 H-子图问题，与最大版本相当？

主要发现

• 在顶点加权图中，所有点对最大 H-子图问题可在 O(n^{t(ω,h)}) 时间内解决，其中 t(ω,h) 由整数规划导出，且依赖于 ω 和 h。
• 对于三角形（h=3），该算法利用快速长方矩阵乘法在 O(n^{2.575}) 时间内运行，优于使用方阵乘法时的 O(n^{2.616}) 界限。
• 对于 h=4,5,8，时间复杂度几乎与无权 H-子图检测问题一致，表明效率紧密。
• 在具有 m 条边的边加权图中，找到了长度为 2k 或 2k−1 的最重环的 O(m^{2−1/k} log n) 时间算法。
• 提出了一种随机化 O(n^3 / log n) 时间算法，用于在边加权图中寻找任意固定长度的最重环。
• 该方法实现了真正亚立方时间复杂度，高效计算两个实矩阵距离积的最高有效位。