[论文解读] Finding large and small dense subgraphs

Reid Andersen|ArXiv.org|Feb 5, 2007

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 11

一句话总结

本文引入了最密至少k子图（DalkS）问题，提出了高效的近似算法：一种时间复杂度为 O(m + n log n) 的 3-近似算法，以及一种基于参数最大流的 2-近似算法。研究表明，最密至多k子图（DamkS）问题几乎与 NP-难的最密k子图问题一样困难，这意味着若对 DamkS 的近似比为 γ，则可得到对 DkS 的 4(γ² + γ)-近似。

ABSTRACT

We consider two optimization problems related to finding dense subgraphs. The densest at-least-k-subgraph problem (DalkS) is to find an induced subgraph of highest average degree among all subgraphs with at least k vertices, and the densest at-most-k-subgraph problem (DamkS) is defined similarly. These problems are related to the well-known densest k-subgraph problem (DkS), which is to find the densest subgraph on exactly k vertices. We show that DalkS can be approximated efficiently, while DamkS is nearly as hard to approximate as the densest k-subgraph problem.

研究动机与目标

• 为解决在大规模网络中寻找既大又密集的子图的挑战，其中标准的最密k子图问题为 NP-难问题。
• 引入并求解最密至少k子图（DalkS）问题，即寻找至少包含k个顶点的最密诱导子图。
• 分析最密至多k子图（DamkS）问题的计算困难性及其与经典最密k子图问题的关系。
• 建立从 DkS 到 DamkS 的近似保持归约，表明 DamkS 的进展将意味着 DkS 的改进近似。

提出的方法

• 通过扩展 Charikar 对最密子图问题的算法，提出一种基于加权度的顶点删除策略的贪心 3-近似算法，用于 DalkS。
• 利用单次参数最大流计算，开发一种 2-近似算法，扩展了 Gallo-Grigoriadis-Tarjan 方法。
• 建立从最密k子图问题（DkS）到 DamkS 的归约，表明若 DamkS 存在 γ-近似算法，则 DkS 存在 4(γ² + γ)-近似算法。
• 提出 DamkS 的广义 (β, γ)-近似框架，其中 β 控制输出子图的大小，γ 控制密度近似。
• 使用贪心迭代过程将多个低密度子图合并为一个顶点数有界且密度足够的更大子图。
• 应用条件期望方法在顶点缩减过程中保持密度，确保最终子图满足所需的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 最密至少k子图问题（DalkS）能否被高效近似？若能，可达到的近似比和时间复杂度是多少？
• RQ2 DamkS 的计算复杂性与经典最密k子图问题（DkS）相比如何？
• RQ3 是否存在一个多项式时间近似算法用于 DamkS，从而能改进 DkS 的近似？
• RQ4 能否设计 DamkS 的局部算法，使其对 DkS 产生亚线性近似比？
• RQ5 DalkS 可达到的最紧近似比是多少？其与输入图结构有何关系？

主要发现

• DalkS 的 3-近似算法在加权图上时间复杂度为 O(m + n log n)，在无权图上为 O(m)，扩展了 Charikar 的贪心方法。
• 存在一种 2-近似算法用于 DalkS，且可通过单次参数最大流计算在多项式时间内求解。
• 若 DamkS 存在 γ-近似算法，则 DkS 存在 4(γ² + γ)-近似算法，表明 DamkS 几乎与 DkS 一样困难。
• DamkS 的广义 (β, γ)-近似意味着 DkS 的 4(γ² + γβ)-近似，当 β 较小时边界更紧。
• 最密至多k子图问题即使在最大度为3的图上也是 NP-完全的，且在标准复杂性假设下仍难以近似。
• 本文猜想存在一种局部 (log n, k^δ)-近似算法用于 DamkS，这将导致 DkS 的 O(k^δ log²n) 近似，尽管 δ = 0 极可能不可行。