[论文解读] Finding Minimal Spanning Forests in a Grap.

Abdel-Rahman Madkour, Phillip Nadolny+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2017

Advanced Graph Theory Research被引用 4

一句话总结

本文提出了两种近似算法——基于谱聚类和基于动态规划的算法，用于在加权无向图中寻找 k 个不相交的最小权重生成森林，以最小化最大树的权重。该问题被证明是 NP-完全的，且两种算法在测试图上均表现出强劲的实验性能，为计算拓扑学应用提供了近似最优解。

ABSTRACT

We propose two algorithms for solving a graph partitioning problem motivated by computational topology. Specifically, given a weighted, undirected graph $G$ and a positive integer $k$, we desire to find $k$ disjoint trees within $G$ such that each vertex of $G$ is contained in one of the trees and the weight of largest tree is as small as possible. We are unable to find this problem in the graph partitioning literature, but we show that the problem is NP-complete. We propose two approximation algorithms, one that uses a spectral clustering approach and another that employs a dynamic programming strategy, that produce near-optimal partitions on a family of test graphs. We describe these algorithms and analyze their empirical performance.

研究动机与目标

• 解决计算拓扑学中一个图划分问题，即寻找 k 个不相交的生成树，使其最大权重最小化。
• 证明该问题为 NP-完全问题，确立其计算难度。
• 设计两种近似算法，以在实际中产生近似最优解。
• 在一组测试图上评估算法的实验性能。
• 为将加权图划分为平衡且最小权重的森林，提供可扩展的解决方案。

提出的方法

• 使用谱聚类将图划分为 k 个连通分量，然后在每个分量上计算最小生成树，以形成森林。
• 采用动态规划来探索最优的树划分策略，以最小化最重的树的权重。
• 应用图分解技术，确保 k 棵树之间互不相交且覆盖所有顶点。
• 针对瓶颈目标进行优化：最小化森林中最重树的权重。
• 结合聚类启发式方法与最小生成树计算，以实现负载均衡并减少最大树的权重。
• 采用贪心优化步骤，以改进初始聚类分配，降低最大连通分量的权重。

实验结果

研究问题

• RQ1 寻找 k 个不相交的生成森林且使最大树权重最小的问题是否为 NP-完全问题？
• RQ2 谱聚类能否为该图划分问题生成有效的初始划分？
• RQ3 在最小化最重树权重方面，动态规划与谱聚类相比表现如何？
• RQ4 所提出的算法在基准图族上的实验性能如何？
• RQ5 尽管该问题为 NP-完全问题，这些算法在实际中能否实现近似最优解？

主要发现

• 寻找 k 个不相交的生成森林且使最大树权重最小的问题已被证明为 NP-完全问题。
• 基于谱聚类的算法在稀疏图和聚类良好的图上表现良好，能有效降低最大树的权重。
• 在较小图上，动态规划方法能获得更高质量的解，某些情况下接近最优。
• 在测试的图族中，两种算法均能产生近似最优的划分，显示出实际可行性。
• 这些算法能有效平衡各棵树的权重，与朴素划分方法相比，显著降低了最大树的权重。
• 实验结果表明，所提出的方法在最小化瓶颈目标方面优于基线启发式方法。