[论文解读] Finding of k in Fagin's R. Theorem 24

Algirdas Maknickas|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文提出了一项证明，即 P = NP，通过展示任何在时间 T(l) ≥ l+1 内被非确定性单带图灵机识别的语言，均可被确定性单带图灵机在时间 T^6 内识别，使用复杂的多值逻辑和解析生成函数推导出 Fagin 定理 24 中的 k = 6。核心论点基于将字符串符号编码为单位根的复数，并表明非确定性计算可被具有多项式时间膨胀的确定性方式模拟，具体为六次方增长。

ABSTRACT

By using of analytical multi-logic expresses in conjunction with non-deterministic Turing machine the proposition was proved that algorithm of deterministic Turing counter machine of polynomial time complexity can be decreased to the algorithm of linear time complexity in non-deterministic Turing counter machine. Furthermore, it was shown that existence of reduction of polynomial time complexity to the linear time complexity by switching from deterministic to non-deterministic Turing machine for string recognition imply P equals to NP. Analytical generation functions of higher order logic were used for finding of k value in Fagin's R. Theorem 24.

研究动机与目标

• 证明 Fagin 定理 24，该定理建立了 P = NP 与存在常数 k 使得非确定性时间 T 可被确定性地在时间 T^k 内模拟之间的等价性。
• 证明非确定性图灵机的时间复杂度 T(l) ≥ l+1 可被确定性机器在时间 T^6 内模拟。
• 使用高阶解析生成函数和复数域 C 上的多值逻辑（满足 |z_n| = 1）来计算 Fagin 定理 24 中的 k 值。
• 表明从确定性到非确定性计算的转换可将时间复杂度从 O(k^2) 降低至 O(k)，若此降低普遍成立，则意味着 P = NP。

提出的方法

• 本文使用复数 z_n = exp(2πi/n)（满足 |z_n| = 1）对非确定性和确定性单带图灵机进行建模，以表示多值逻辑中的符号。
• 采用解析生成函数 g^{n_1}_k(z^{A_b^i}_n1) 和 g^{n_2}_k(z^{A_2^i}_n2)，分别在 b = 2^{l^2} 和二进制基 2 下对非确定性和确定性机器中的符号进行编码。
• 计数机制在非确定性机器中使用单格计数器（d = l），将时间复杂度降低至 O(k)，而确定性机器由于需顺序遍历，时间复杂度为 O(k^2)。
• 通过递推关系推导时间复杂度：非确定性情形为 T_d(k) = 2k c_iw + k c_a = O(k)，确定性情形为 T_d(k) = (2k + (k/d - 1)(k/d)) c_iw + log_d k (log_d k + 1) c_ow + k c_a = O(k^2)。
• 当 b = 2^{l^2} 时，二进制表示长度变为 l^3，且从非确定性到确定性模拟的时间膨胀被证明为 T^6。
• 通过证明若 T^6 模拟可行，则 P = NP，从而建立了 P = NP 与此类 k 存在性的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非确定性单带图灵机的时间复杂度 T(l) ≥ l+1 是否可被确定性单带机器在时间 T^k 内模拟，其中 k 为固定常数？
• RQ2 使得所有在非确定性时间 T 内被识别的语言均可在确定性时间 T^k 内被识别的最小 k 值是多少？
• RQ3 使用复数多值逻辑和解析生成函数是否能够推导出 Fagin 定理 24 中的 k 值？
• RQ4 从 O(k^2) 确定性时间到 O(k) 非确定性时间的降低是否足以推出 P = NP？
• RQ5 在满足 |z_n| = 1 的复单位根上进行字符串识别，是否能够实现非确定性计算的多项式时间模拟？

主要发现

• 本文证明，当 k = 6 时，任何在时间 T(l) ≥ l+1 内被非确定性单带图灵机识别的语言，均可被确定性单带图灵机在时间 T^6 内识别。
• 非确定性计数机制通过单格计数器在 O(k) 时间内运行，而确定性版本由于顺序遍历，需 O(k^2) 时间。
• 当 b = 2^{l^2} 时，字符串的二进制表示长度增至 l^3，且从非确定性到确定性模拟的时间复杂度膨胀被证明为 T^6。
• 在复单位根上使用解析生成函数 g^{n_1}_k 和 g^{n_2}_k，使得非确定性和确定性机器中的符号编码成为可能，从而支持时间复杂度的比较。
• 该结果意味着，若此类 k 存在（此处为 k = 6），则 P = NP，因为非确定性计算的多项式时间模拟将导致复杂度类的坍缩。
• 本文结论为，Fagin 定理 24 中 k = 6 的存在性意味着 P 与 NP 的等价性。