[论文解读] Finding the Rikitake's attractors by parameter switching

Marius‐F. Danca, S. Codreanu|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2011

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文提出一种参数切换算法，用于在Rikitake动力系统中合成任意吸引子，将该方法扩展至非双曲平衡点系统。通过周期性或随机切换控制参数 $ p $，该算法可生成与平均参数值下获得的吸引子完全匹配的目标吸引子，即使在混沌或稳定极限环动力学下亦成立，并揭示了由于 $ x_3 $-轴不稳定性而长期存在的未被注意的瞬态吸引子。

ABSTRACT

In this paper the attractors synthesis algorithm for a class of dissipative dynamical systems with hyperbolic equilibria, presented in [1], is applied to generate any attractor of the Rikitake system. By switching periodically, or even randomly, the control parameter inside a given set of values, during any finite time interval while the attractor is numerically approximated, any attractor can be generated. Beside the extension of the synthesis algorithm to systems with non-hyperbolic equilibria, we have found for the Rikitake system, a new intriguing transient which, occurring for a long time interval, is difficult to be numerically found due to the known system instability along the x3-axis.

研究动机与目标

• 将吸引子合成算法扩展至具有非双曲平衡点的系统，如Rikitake系统。
• 通过数值方法证明，可通过控制参数 $ p $ 的周期性或随机切换生成任意Rikitake吸引子。
• 识别并表征由 $ x_3 $-轴不稳定性引起的长期瞬态吸引子（TA），该现象难以通过标准数值方法捕捉。
• 通过叠加相图、状态分布直方图和庞加莱截面验证，确认切换生成的吸引子与平均参数值下的吸引子等价。

提出的方法

• 吸引子合成算法在Rikitake系统数值积分过程中，对控制参数 $ p(t) $ 实施分段常数的切换。
• 切换规则采用周期性或随机的参数值序列 $ p_1, p_2, \dots $，其中平均值 $ p^* $ 决定目标吸引子。
• 该方法依赖于吸引子集合的凸性特性，确保合成吸引子 $ A^* $ 与平均参数值下的吸引子 $ A_{p^*} $ 完全匹配。
• 数值积分采用四阶龙格-库塔法，并通过仔细处理刚性问题以解析瞬态吸引子。
• 通过叠加相图、状态分布直方图和庞加莱截面进行验证，以确认吸引子身份。
• 尽管存在 $ x_3 $-轴不稳定性带来的数值挑战，仍通过长时间模拟和几何对称性分析识别出瞬态吸引子。

实验结果

研究问题

• RQ1 吸引子合成算法能否成功扩展至具有非双曲平衡点的系统，如Rikitake系统？
• RQ2 参数切换（周期性或随机）是否能够生成Rikitake系统中任意期望的吸引子？
• RQ3 Rikitake系统中长期瞬态吸引子的产生原因是什么？为何其难以通过数值方法检测？
• RQ4 合成吸引子 $ A^* $ 与平均参数值 $ p^* $ 下的吸引子 $ A_{p^*} $ 在多大程度上等价？
• RQ5 该瞬态吸引子能否被严格解释为动力学组成部分，而非数值伪影？

主要发现

• 即使单个参数值下产生混沌或稳定动力学，吸引子合成算法仍能通过周期性或随机切换控制参数 $ p $，成功生成任意Rikitake吸引子。
• 对于确定性方案 $[1p_1, 1p_2]$，其中 $ p_1 = 9.66 $，$ p_2 = 12 $，在 $ p^* = 10.83 $ 处合成的吸引子 $ A^* $ 与 $ A_{p^*} $ 完全匹配，经由叠加相图和直方图验证。
• 对于方案 $[1p_1, 2p_2, 1p_3]$，其中 $ p_1 = 5 $，$ p_2 = 7 $，$ p_3 = 24.32 $，在 $ p^* = 10.83 $ 处合成的吸引子 $ A^* $ 与 $ A_{p^*} $ 完全相同，由重叠的庞加莱截面和直方图证实。
• 当 $ p_1 = 17 $，$ p_2 = 23 $ 时，该算法生成的混沌吸引子 $ A^* $ 与 $ p^* = 20 $ 处的 $ A_{p^*} $ 完全一致，经由庞加莱截面和直方图比较验证。
• 当 $ p_1 = 26 $，$ p_2 = 28 $ 时，两个独立吸引子均为稳定极限环，所有切换方案均仅产生稳定极限环，与 $ p^* = 27 $ 处的 $ A_{p^*} $ 一致。
• 采用在 $ p_1 = 14.5 $，$ p_2 = 20.7 $ 上均匀分布的随机切换，合成吸引子 $ A^* $ 与 $ p^* = 17.6 $ 处的 $ A_{p^*} $ 匹配，经由重叠相图和直方图确认。