[论文解读] Finding the Spectral Radius of a Nonnegative Tensor

Shenglong Hu, Zheng‐Hai Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2011

Tensor decomposition and applications参考文献 9被引用 66

一句话总结

本文引入了一类严格非负张量，该类张量保证谱半径为正，并提出了一种全局收敛算法，通过将任意非负张量分解为弱不可约块来计算其谱半径。该方法通过在每个块上应用改进的幂方法，确保了R线性收敛，从而在无需额外假设的情况下实现了高效且可靠的计算。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new class of nonnegative tensors --- strictly nonnegative tensors. A weakly irreducible nonnegative tensor is a strictly nonnegative tensor but not vice versa. We show that the spectral radius of a strictly nonnegative tensor is always positive. We give some sufficient and necessary conditions for the six well-conditional classes of nonnegative tensors, introduced in the literature, and a full relationship picture about strictly nonnegative tensors with these six classes of nonnegative tensors. We then establish global R-linear convergence of a power method for finding the spectral radius of a nonnegative tensor under the condition of weak irreducibility. We show that for a nonnegative tensor T, there always exists a partition of the index set such that every tensor induced by the partition is weakly irreducible; and the spectral radius of T can be obtained from those spectral radii of the induced tensors. In this way, we develop a convergent algorithm for finding the spectral radius of a general nonnegative tensor without any additional assumption. The preliminary numerical results demonstrate the feasibility and effectiveness of the proposed algorithm.

研究动机与目标

• 定义并分析一类新的非负张量——严格非负张量，其谱半径始终为正。
• 建立严格非负张量与文献中六类著名非负张量之间的全面关系。
• 开发一种无需额外假设即可计算一般非负张量谱半径的全局收敛算法。
• 通过在随机生成和结构化张量上的数值实验，展示所提算法的可行性和有效性。

提出的方法

• 将严格非负张量定义为严格包含弱不可约非负张量的一类，并证明其谱半径始终为正。
• 提出一种划分策略，将任意非负张量分解为弱不可约诱导张量，从而实现块状谱半径的计算。
• 对Friedland等人（2013）的幂方法进行改进，以确保弱不可约非负张量的全局R线性收敛。
• 构建一种算法，通过聚合其弱不可约块的谱半径来计算一般非负张量的谱半径。
• 使用函数 $ F_T(x) $ 定义与张量特征值问题相关的非线性映射，将其与幂方法框架联系起来。
• 基于上下界差值 $ |\alpha(x^{(k)}) - \beta(x^{(k)})| \leq 10^{-6} $ 设计停止准则，以确保收敛精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下可保证非负张量的谱半径为正？新提出的严格非负张量类与现有类之间有何关系？
• RQ2 能否为弱不可约非负张量的谱半径计算开发一种全局收敛的幂方法？
• RQ3 在不假设弱不可约性或其他结构约束的前提下，如何计算一般非负张量的谱半径？
• RQ4 严格非负张量与六类著名非负张量之间存在何种关系？
• RQ5 张量的稀疏性或密度在多大程度上影响其成为弱不可约的可能性？这又如何影响计算性能？

主要发现

• 任何严格非负张量的谱半径均保证为正，扩展了非负张量的Perron-Frobenius理论。
• 严格非负张量类严格包含文献中六类著名非负张量，包括弱不可约、本征正和拟正张量等。
• 改进的幂方法对弱不可约非负张量实现了全局R线性收敛，确保了可靠且快速的收敛。
• 对于任意非负张量，均存在一个指标集的划分，使得所有诱导张量均为弱不可约，且原张量的谱半径等于其诱导张量谱半径的最大值。
• 数值实验表明，所提算法在各种张量维度和密度下均能高效计算谱半径，对于稠密张量平均收敛迭代次数少于20次。
• 该算法在稀疏张量上表现良好，弱不可约性的概率随元素密度增加而提高，且残差误差始终低于 $ 10^{-6} $。