[论文解读] Fine properties of functions with bounded variation in Carnot-Carathéodory spaces

Sebastiano Don, Davide Vittone|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文建立了在Carnot-Carathéodory（CC）空间中有有界变差（BV）函数的精细性质，证明了几乎处处几乎处处X-可微性，并刻画了其分布导数的结构。在性质$\mathcal{R}$下，证明了几乎所有不连续点均为跳跃型，并推导出导数跳跃部分的表示公式，将经典BV理论推广至子黎曼几何设定。

ABSTRACT

We study properties of functions with bounded variation in Carnot-Ca\-ra\-théo\-do\-ry spaces. We prove their almost everywhere approximate differentiability and we examine their approximate discontinuity set and the decomposition of their distributional derivatives. Under an additional assumption on the space, called property $\mathcal R$, we show that almost all approximate discontinuities are of jump type and we study a representation formula for the jump part of the derivative.

研究动机与目标

• 在等秩Carnot-Carathéodory空间中建立BV函数的精细可微性与分解性质。
• 在子黎曼几何中定义并分析BV函数的近似X-跳跃概念。
• 证明在性质$\mathcal{R}$下，导数的奇异部分完全集中在跳跃型不连续点上。
• 在CC空间中推导出分布导数跳跃部分的表示公式。
• 将经典BV结果（如近似可微性与跳跃集结构）推广至非欧几里得的CC空间设定。

提出的方法

• 使用一个新不等式（引理3.12），将$\mathbb{R}^n$中BV函数的经典的$L^1$型估计推广至CC空间，解决了文献[5]中的一个开放问题。
• 引入近似$X$-可微性的概念，并通过导数的绝对连续部分相对于Lebesgue测度的密度来定义近似$X$-梯度。
• 利用幂零切锥中的内在$C^1_X$-正则曲面与爆破技术，定义$X$-跳跃点及其关联的三元组$(u^+, u^-, \nu_u)$。
• 通过伸缩变换$\delta_r$与微分同胚$F_p$实施爆破过程，分析$u$在Lebesgue点附近的渐近行为。
• 利用齐次维数$Q$与$\mathscr{H}^{Q-1}$-测度刻画近似不连续点集$\mathcal{S}_u$的大小与结构。
• 通过逼近特征函数并利用测度的弱收敛性，证明近似梯度与跳跃三元组的Borel可测性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典BV函数几乎处处近似可微性结果能否推广至Carnot-Carathéodory空间中的函数？
• RQ2 在等秩CC空间中，$BV_X$函数的分布导数$D_X u$具有何种结构？
• RQ3 在子黎曼设定下，$u$的近似不连续点在何种条件下为跳跃型？
• RQ4 能否在CC空间中推导出$D_X u$跳跃部分的表示公式？
• RQ5 在$X$-可微性背景下，近似极限与近似跳跃的概念如何推广？

主要发现

• 本文证明了每个$u \in BV_X(\Omega; \mathbb{R}^k)$在$\Omega$中$\mathscr{L}^n$-几乎处处具有近似$X$-可微性，且近似$X$-梯度等于$D_X^a u$的密度。
• 不具有近似极限的点集$\mathcal{S}_u$包含于有限$\mathscr{H}^{Q-1}$-测度的集合的可数并之中。
• 在性质$\mathcal{R}$下，$D_X u$的奇异部分完全集中在跳跃集$\mathcal{J}_u$上，即$D_X^s u = D_X^j u$。
• $D_X^j u$的跳跃部分可通过跳跃三元组$(u^+, u^-, \nu_u)$表示，且$\mathcal{J}_u$为$\mathscr{H}^{Q-1}$-可求和的。
• 近似梯度$D_X^{ap} u$与跳跃三元组在$\Omega \setminus \mathcal{S}_u$上为Borel可测函数。
• 本文建立近似极限与跳跃三元组在几乎处处唯一定义，确保了爆破与迹定义的一致性。