[论文解读] Fine properties of solutions to the Cauchy problem for a Fast Diffusion Equation with Caffarelli-Kohn-Nirenberg weights

Matteo Bonforte, Nikita Simonov|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 98被引用 20

一句话总结

本文建立了在 $ρ^d$ 上的初始数据的完整表征，其解在加权快速扩散方程中以相对误差一致收敛于 Barenblatt 型态。通过引入初始数据的新积分条件，证明了此类解满足全局 Harnack 原理并一致收敛于相对误差，而此类之外的解则表现出持续的重尾行为，即使在 $L^1$ 收敛下也失败于相对误差收敛。

ABSTRACT

We investigate fine global properties of nonnegative, integrable solutions to the Cauchy problem for the Fast Diffusion Equation with weights (WFDE) $u_t=|x|^\\gamma\\mathrm{div}\\left(|x|^{-\\beta}\ abla u^m\ ight)$ posed on $(0,+\\infty)\ imes\\mathbb{R}^d$, with $d\\ge 3$, in the so-called good fast diffusion range $m_c<m<1$, within the range of parameters $\\gamma, \\beta$, optimal for the validity of the so-called Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities. It is a natural question to ask in which sense such solutions behave like the Barenblatt $\\mathfrak{B}$ (fundamental solution): for instance, asymptotic convergence, i.e. $\\|u(t)-\\mathfrak{B}(t)\\|_{{\ m L}^p(\\mathbb{R}^d)}\\xrightarrow[]{t\ o\\infty}0$, is well known for all $1\\le p\\le \\infty$, while only few partial results tackle a finer analysis of the tail behaviour. We characterize the maximal set of data $\\mathcal{X}\\subset{\ m L}^1_+(\\mathbb{R}^d)$ that produces solutions which are pointwise trapped between two Barenblatt (Global Harnack Principle), and uniformly converge in relative error (UREC), i.e. ${\ m d}_\\infty(u(t))=\\|u(t)/\\mathcal{B}(t)-1\\|_{{\ m L}^\\infty(\\mathbb{R}^d)}\\xrightarrow[]{t\ o\\infty}0$. Such characterization is in terms of an integral condition on $u(t=0)$. To the best of our knowledge, analogous issues for the linear heat equation $m=1$, do not possess such clear answers. Our characterization is also new for the classical, non-weighted, FDE. We are able to provide minimal rates of convergence to $\\mathcal{B}$ in different norms. Such rates are almost optimal in the non weighted case, and become optimal for radial solutions. To complete the panorama, we show that solutions with data in ${\ m L}^1_+(\\mathbb{R}^d)\\setminus\\mathcal{X}$, preserve the same "fat" spatial tail for all times, hence UREC fails.

研究动机与目标

• 确定 $ρ^d$ 中初始数据的精确类，使得加权快速扩散方程的解以一致相对误差收敛于 Barenblatt 型态。
• 建立一个关于初始数据的精确积分条件，以表征满足全局 Harnack 原理和一致相对误差收敛的解。
• 识别出使解尾部渐近匹配 Barenblatt 型态的最小初始数据集合。
• 量化相对误差收敛速率，并表明在非加权情况下几乎最优，对径向解则为最优。
• 证明在所表征类之外的初始数据，其解会保持重尾行为，导致即使在 $L^1$ 收敛下，一致相对误差收敛仍会失败。

提出的方法

• 引入一个新的类 $ρ^d \subset \mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$，其由初始数据上的积分条件定义，表征了解尾部行为与 Barenblatt 型态匹配的解。
• 在锥形区域中应用抛物型 Harnack 不等式，推导解的统一上下界，从而确立全局 Harnack 原理。
• 通过尺度变换转化为自相似变量，并应用加权抛物方程解的 Hölder 连续性估计，以控制空间正则性。
• 利用次解与超解构造法，证明在 $ρ^d$ 之外的解在整个时间范围内均保持重尾行为，从而推出 $ρ^d(u(t)) = \infty$。
• 通过分析 $ρ^d(u(t)/\mathcal{B}(t) - 1)\_{L^\infty}$ 的衰减，推导出相对误差收敛的精确速率，证明对径向解为最优。
• 依赖于自相似变量下方程的线性化版本，并应用退化抛物方程理论中加权情形的先验 Hölder 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ρ^d$ 中，初始数据的最大集合是什么，使得加权快速扩散方程的解以一致相对误差收敛于 Barenblatt 型态？
• RQ2 初始数据需满足何种积分条件，才能使解满足全局 Harnack 原理并表现出一致相对误差收敛？
• RQ3 对于不在所表征类 $ρ^d$ 中的初始数据，解的尾部行为和相对误差收敛性如何？
• RQ4 相对误差收敛速率如何依赖于初始数据？是否为最优？
• RQ5 对于不在 $ρ^d$ 中的解，其一致相对误差收敛的失败是否可量化？其尾部行为的性质是什么？

主要发现

• 集合 $ρ^d \subset \mathrm{L}^1_+(\mathbb{R}^d)$ 由初始数据上的积分条件表征，确保解满足全局 Harnack 原理，并在两个 Barenblatt 型态之间逐点夹逼。
• 初始数据属于 $ρ^d$ 的解以一致相对误差收敛于 Barenblatt 型态，即当 $t \to \infty$ 时，$\|u(t)/\mathcal{B}(t) - 1\|_{L^\infty(\mathbb{R}^d)} \to 0$，其收敛速率在非加权情况下几乎最优，对径向解则为最优。
• 初始数据不在 $ρ^d$ 中的解在整个时间范围内均保持“重尾”行为，因此对所有 $t$ 有 $ρ^d(u(t)) = \infty$，即使 $ρ^d(u(t) - \mathcal{B}(t)) \to 0$。
• 本文为 $ρ^d$ 中的解提供了相对误差收敛的最小速率，对径向数据为精确最优，一般情况下几乎最优。
• 对于不在 $ρ^d$ 中的初始数据，相对误差收敛的失败被证明源于尾部持续主导，该结论通过显式构造次解与超解得以证明。
• 即使对经典非加权快速扩散方程，这些结果也是全新的，且其表征比已知的线性热方程结果更为精确。