[论文解读] Fine regularity of Lévy processes and linear (multi)fractional stable motion

Paul Balança|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 40被引用 9

一句话总结

本文提出了一种二微局部分析框架，用于研究 Lévy 过程和线性多分形稳定运动（LMSM）的精细正则性，揭示其点态 Hölder 正则性表现出复杂且非均匀的多分形结构。主要贡献在于对具有连续、无界路径的 LMSM 的多分形谱进行了完整表征，表明其为非均匀且随机的，且二微局部前沿通过赫斯特函数和 Blumenthal–Getoor 指数完全决定了该谱。

ABSTRACT

In this work, we investigate the fine regularity of Lévy processes using the 2-microlocal formalism. This framework allows us to refine the multifractal spectrum determined by Jaffard and, in addition, study the oscillating singularities of Lévy processes. The fractal structure of the latter is proved to be more complex than the classic multifractal spectrum and is determined in the case of alpha-stable processes. As a consequence of these fine results and the properties of the 2-microlocal frontier, we are also able to completely characterise the multifractal nature of the linear fractional stable motion (extension of fractional Brownian motion to α-stable measures) in the case of continuous and unbounded sample paths as well. The regularity of its multifractional extension is also presented, indirectly providing an example of a stochastic process with a non-homogeneous and random multifractal spectrum.

研究动机与目标

• 通过分析超出 Hölder 指数的振荡奇点和点态正则性，细化经典 Lévy 过程的多分形谱。
• 建立具有连续、无界样本路径的线性分数阶稳定运动（LFSM）多分形性质的完整表征。
• 将分析扩展至线性多分形稳定运动（LMSM），证明其具有非均匀且随机的多分形谱。
• 表明即使在随机赫斯特函数存在的情况下，二微局部前沿仍能完全决定这些过程的多分形结构。

提出的方法

• 将二微局部分析适配于随机过程，利用二微局部谱的前沿捕捉点态正则性和振荡奇点。
• 采用涉及 Lévy 过程和核函数的积分变换表示分数阶 Lévy 过程。
• 利用 Blumenthal–Getoor 指数 β，以 β(h−d) 的形式在 [d, d+1/β] 上表征 Lévy 过程的多分形谱。
• 应用 Ayache 和 Hamonier（2012）的统一 Hölder 估计，以界定 LMSM 的二微局部前沿。
• 将 LMSM 分解为恒定赫斯特分量与由随机赫斯特函数引起的扰动项，证明后者在二微局部正则性中可忽略。
• 建立 LMSM 在时间 t 的二微局部前沿为 σX,t(s′) = σL,t(s′) + H(t) − 1/α，将其与底层 Lévy 过程和赫斯特函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 二微局部分析如何在点态 Hölder 指数之外，进一步细化 Lévy 过程的经典多分形谱？
• RQ2 具有连续、无界路径的线性分数阶稳定运动（LFSM）的多分形谱的确切结构是什么？
• RQ3 当赫斯特函数 H(·) 为连续且随机时，线性多分形稳定运动（LMSM）的多分形谱能否被完全表征？
• RQ4 振荡奇点和非均匀正则性如何影响 Lévy 型过程的二微局部前沿？

主要发现

• Lévy 过程的多分形谱为 dX(h,V) = β(h−d)，其中 h ∈ [d, d+1/β]，否则为 −∞，其中 β 为 Blumenthal–Getoor 指数。
• 对于线性分数阶稳定运动（LFSM），多分形谱在 [d, d+1/β] 上为 dX(h,V) = β(h−d)，证实其具有非退化且非均匀的结构。
• LMSM 的二微局部前沿满足 σX,t(s′) = σL,t(s′) + H(t) − 1/α，对所有 t 和 s′ 成立，证明其具有非均匀且随机的多分形谱。
• LMSM 的谱是非退化的，并随 t 变化，表明该过程具有随机且非均匀的多分形结构。
• 证明了时变赫斯特函数引起的扰动在二微局部正则性中可忽略，使得前沿可被加法分解。
• 结果可推广至随机赫斯特函数，从而可构造出具有随机且非均匀多分形谱的新一类随机过程。