[论文解读] Fine structure of the singular set of area minimizing hypersurfaces modulo $p$

Camillo De Lellis, Jonas Hirsch+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

该论文通过证明在偶数 $p$ 情况下，面积最小化超曲面的奇点集模 $p$ 的结构，完成了对其奇点集的分类。具体而言，对于偶数 $p$，奇点集在余维至多为 $m-2$ 的集合外，是一个 $C^{1,\beta}$ 超曲面，其维度为 $m-1$，此时 $N \leq p$ 个具有正整数重数且总和为 $p$ 的正则片以横截方式相交。该结果扩展了对奇数 $p$ 的先前工作，并通过在线性化问题中采用改进的爆破分析与等周不等式，解决了剩余情况。

ABSTRACT

Consider an area minimizing current modulo $p$ of dimension $m$ in a smooth Riemannian manifold of dimension $m+1$. We prove that its interior singular set is, up to a relatively closed set of dimension at most $m-2$, a $C^{1,α}$ submanifold of dimension $m-1$ at which, locally, $N\leq p$ regular sheets of the current join transversally, each sheet counted with a positive multiplicity $k_i$ so that $\sum_i k_i = p$. This completes the analysis of the structure of the singular set of area minimizing hypersurfaces modulo $p$, initiated by J. Taylor for $m=2$ and $p=3$ and extended by the authors to arbitrary $m$ and all odd $p$ in arXiv:2105.08135. We tackle the remaining case of even $p$ by showing that the set of singular points admitting a flat blow-up is of codimension at least two in the current. First, we prove a structural result for the singularities of minimizers in the linearized problem, by combining an epiperimetric inequality with an analysis of homogeneous minimizers to conclude that the corresponding degrees of homogeneity are always integers; second, we refine Almgren's blow-up procedure to prove that all flat singularities of the current persist as singularities of the $\mathrm{Dir}$-minimizing limit. An important ingredient of our analysis is the uniqueness of flat tangent cones at singular points, recently established by Minter and Wickramasekera in arXiv:2111.11202.

研究动机与目标

• 完成对余维一面积最小化超曲面模 $p$ 的奇点集结构分类，特别是针对偶数 $p$ 的情况，该问题在先前对奇数 $p$ 的研究之后仍处于开放状态。
• 证明奇点集在余维至多为 $m-2$ 的集合外，是一个维度为 $m-1$ 的 $C^{1,\alpha}$ 子流形，此时 $N \leq p$ 个具有正整数重数且总和为 $p$ 的正则片以横截方式相交。
• 通过证明所有平坦奇点在 Dir-最小化爆破极限中保持为奇点，且承认平坦爆破的点集的余维至少为二，从而解决偶数 $p$ 的情况。
• 通过结合线性化分析与非线性爆破技术，将面积最小化模 $p$ 电流的正则性理论进一步拓展，利用近期关于平坦切锥唯一性的结果。

提出的方法

• 通过结合等周不等式与 $1$-齐次极小化子的分类，证明线性化问题中齐次 Dir-极小化子的结构性结果，表明齐次度总是整数。
• 应用 Almgren 爆破过程的改进版本，证明电流的平坦奇点在 Dir-极小化极限中仍保持为奇点，从而确保奇点结构在爆破过程中得以保持。
• 利用最近由 Minter 和 Wickramasekera 建立的奇异点处平坦切锥的唯一性结果，排除非唯一爆破的可能性，从而支持奇点集的 $C^{1,\alpha}$ 正则性。
• 证明承认平坦爆破的点集在电流中的余维至少为二，从而允许将奇点集分解为一个 $C^{1,\alpha}$ 部分与一个低维余项。
• 利用 $T_n = Q^{-1}T_n$ 是模 2 的电流、其边界模 2 为零且同调平凡的事实，推导出 $T_n$ 是模 2 的边界，从而可应用强最大值原理。
• 对 $T_o^i$ 和 $T_2$ 应用强最大值原理，排除 $T_o$ 与 $T_n$ 的正则部分相交的可能性，从而证明其可定向与不可定向部分的支撑集不相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 为偶数时，面积最小化超曲面模 $p$ 的奇点集的精细结构是什么，特别是在缺乏奇数 $p$ 对称性的情况下？
• RQ2 奇点集是否可分解为一个维度为 $m-1$ 的 $C^{1,\alpha}$ 子流形与一个低维余项，即使在 $p$ 为偶数时也成立？
• RQ3 电流的平坦奇点是否在 Dir-最小化爆破极限中保持为奇点？这对奇点集的正则性有何含义？
• RQ4 线性化问题中的等周不等式如何约束奇点可能的齐次度？为何这些齐次度必为整数？
• RQ5 平坦切锥的唯一性在确保偶数 $p$ 情况下奇点集的 $C^{1,\alpha}$ 正则性中起到何种作用？

主要发现

• 对于所有 $p \geq 2$，包括偶数 $p$，余维一面积最小化电流模 $p$ 的奇点集，除去余维至多为 $m-2$ 的集合外，是一个维度为 $m-1$ 的 $C^{1,\alpha}$ 子流形。
• 在奇点集的每一点，恰好有 $N \leq p$ 个具有正整数重数 $k_i$ 且满足 $\sum k_i = p$ 的正则片以横截方式相交，形成锥状结构。
• 承认平坦爆破的点集在电流中的余维至少为二，意味着这些点不贡献于主要奇点层。
• $1$-齐次 Dir-极小化子的齐次度总是整数，该结果由等周不等式与齐次极小化子的分类推导得出。
• 电流的所有平坦奇点在 Dir-极小化爆破极限中均保持为奇点，确保奇点结构在爆破过程中被保留。
• 通过在边界模 2 为零的模 2 电流上应用强最大值原理，证明了电流的可定向与不可定向部分的支撑集不相交。