[论文解读] Finitary coding and Gaussian concentration for random fields

J. -R. Chazottes, S. Gallo+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2026

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 0

一句话总结

该论文为独立同分布场的有限编码随机场建立高斯集中性结果，给出保持集中性的编码体积矩条件，并具有尖锐性及在吉布斯测度、马尔可夫随机场和一维过程中的应用。

ABSTRACT

We study Gaussian concentration inequalities for random fields obtained as finitary codings of i.i.d.\ fields, linking concentration properties to coding structure. A finitary coding represents a dependent field as a shift-equivariant image of an i.i.d.\ process, where each output depends on a finite but configuration-dependent portion of the input. Gaussian concentration corresponds to uniform sub-Gaussian bounds for local observables. Our main abstract result shows that Gaussian concentration is preserved under finitary codings with finite second moment of the coding volume. The proof relies on a refinement of the bounded-differences inequality, due to Talagrand and Marton, handling configuration-dependent influences. Under an additional structural assumption, satisfied in particular by coupling-from-the-past codings, a finite first moment suffices. These moment conditions are sharp. We apply these results to Gibbs measures, Markov random fields on $\mathbb Z^d$, and a broad class of one-dimensional processes. Using recent constructions of finitary codings, notably by Spinka and collaborators, we obtain sharp necessary and sufficient conditions for Gaussian concentration in classical lattice models, including the Ising, Potts, and random-cluster models: it holds if and only if the model lies in the full uniqueness regime, extending previous results beyond strict subregimes. In one dimension, we treat processes with possibly unbounded memory. For countable-state Markov chains, we obtain equivalent characterizations in terms of geometric ergodicity, exponential return-time tails, and finitary i.i.d.\ codings with exponential tails.

研究动机与目标

• 将有限编码理论与随机场的高斯集中性联系起来。
• 确定确保高斯集中性保持的编码体积矩条件。
• 探讨对吉布斯测度、马尔可夫随机场和概率性细胞自动机的影响。
• 展示矩条件的尖锐性并与伯努利性质和有限确定性相关联。

提出的方法

• 建立一个通用抽象框架，将独立同分布场的有限编码与高斯集中性界限联系起来。
• 使用对配置相关的编码窗口进行改进的有界差法（Talagrand/Marton），并作适应。
• 引入关于编码体积的二阶矩条件（在短程因式分解性质下还引入一阶矩条件），以保证集中性。
• 利用从过去耦合的构造来满足结构性的短程因式分解条件。
• 将该框架应用于吉布斯测度、Ising/Potts/随机簇模型、概率性细胞自动机以及一维随机过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于由独立同分布场的有限编码形成的随机场，能够成立高斯集中性？
• RQ2 编码体积需要满足哪些矩条件才能充分且必要地保证高斯集中性？
• RQ3 结构性属性如短程因式分解如何在有限一阶矩的情况下影响集中性？
• RQ4 结果如何在经典格模型（Ising、Potts、随机簇）和一维马尔可夫链中具体化？
• RQ5 何时有限编码隐含伯努利性/有限确定性及相关的遍历性属性？

主要发现

• 如果一个随机场是对独立同分布场的有限编码，且编码体积具有有限的二阶矩，则保持高斯集中性。
• 在具有结构性短程因式分解性质的情况下，编码体积的一阶矩的有限性就足以确保高斯集中性。
• 矩条件是尖锐的，在某些区域存在反例（例如临界下的Ising模型）。
• 在吉布斯测度的唯一性区间，具有指数或拉伸指数尾的有限编码可得到高斯集中性，而共存区间则不成立。
• 对于可数态的马尔可夫链，高斯集中性等价于几何遍历性、指数级的返回时间尾以及存在具有指数尾的有限编码的独立同分布字段。
• 应用覆盖Ising、Potts、随机簇模型、概率性细胞自动机以及一维随机过程。