[论文解读] Finitary Corecursion for the Infinitary Lambda Calculus

Stefan Milius, Thorsten Wißmann|arXiv (Cornell University)|May 28, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文证明了在名义集范畴中，无穷型λ演算的函子的理性不动点 precisely 由理性λ树构成——即在同构意义下仅有有限棵子树的λ树——从而为在这些项上定义替换和正规形计算等操作提供了一个有限的共归纳原则。

ABSTRACT

Kurz et al. have recently shown that infinite $λ$-trees with finitely many free variables modulo $α$-equivalence form a final coalgebra for a functor on the category of nominal sets. Here we investigate the rational fixpoint of that functor. We prove that it is formed by all rational $λ$-trees, i.e. those $λ$-trees which have only finitely many subtrees (up to isomorphism). This yields a corecursion principle that allows the definition of operations such as substitution on rational $λ$-trees.

研究动机与目标

• 在名义集范畴中，刻画无穷型λ演算的函子 $ L_{\beta} $ 的理性不动点。
• 证明该理性不动点恰好对应于模 $\alpha$-等价的理性λ树。
• 为理性λ项上的操作建立一个有限的共归纳原则。
• 证明诸如替换和正规形计算等共归纳定义可限制于理性树。
• 通过理性不动点扩展范畴论中变量绑定的框架，以支持通过理性不动点实现的有限共归纳推理。

提出的方法

• 利用名义集理论形式化λ演算中的变量绑定和 $\alpha$-等价性。
• 以 Kurz 等人建立的 $ L_{\alpha} $ 的终余代数为基础，构建无穷型λ项的理论框架。
• 将理性不动点表征为最终的局部轨道有限 $ L_{\alpha} $-余代数。
• 证明理性不动点由所有模 $\alpha$-等价的理性 $\lambda$-树构成。
• 应用理性不动点的终性，推导出在理性树上定义操作的共归纳原则。
• 将该原则应用于替换和正规形计算等共归纳定义（例如，Böhm 树、Levy-Longo 树、Berarducci 树）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在名义集范畴中，函子 $ L_{\alpha} $ 的理性不动点的结构是什么？
• RQ2 哪些 $\lambda$-树被 $ L_{\alpha} $ 的理性不动点所捕获，它们与有限行为之间有何关系？
• RQ3 诸如替换和正规形计算等共归纳定义能否被限制于理性 $\lambda$-树？
• RQ4 理性不动点如何在具有绑定的无穷型 $\lambda$-演算语境下提供一个有限的共归纳原则？
• RQ5 名义集中的理性不动点结果与预层范畴中的结果之间是否存在正式联系，如相关工作中所见？

主要发现

• 在名义集范畴中，函子 $ L_{\alpha} $ 的理性不动点 precisely 是所有模 $\alpha$-等价的理性 $\lambda$-树的集合。
• 该刻画为在理性 $\lambda$-项上定义操作提供了一个有限的共归纳原则。
• Kurz 等人给出的无穷型 $\lambda$-项上的替换共归纳定义，可限制于理性树。
• 诸如 Böhm、Levy-Longo 和 Berarducci 树等正规形计算，可在理性 $\lambda$-项上进行共归纳定义。
• 理性不动点捕获了所有有限表示的 $ L_{\alpha} $-余代数的行为，推广了正则树和理性序列等概念。
• 结果表明，名义集方法与预层方法在理性与无穷型 $\lambda$-项上的理性不动点结果之间可能存在正式联系，尽管该联系尚待正式确立。