[论文解读] Finitary semantics of linear logic and higher-order model-checking

Charles Grellois, Paul-André Melliès|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2015

Logic, programming, and type systems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文通过使用素代数格建立线性逻辑的有限语义，以提供一种组合性、形式化的证明，证明高阶模型检测中选择问题的可判定性。通过在有限模型中解释高阶递归方案，作者表明，对于任意的MSO公式，可算法构造出一个生成见证的高阶递归方案，通过有限的parity游戏和交类型解决选择问题。

ABSTRACT

In this paper, we explain how the connection between higher-order model-checking and linear logic recently exhibited by the authors leads to a new and conceptually enlightening proof of the selection problem originally established by Carayol and Serre using collapsible pushdown automata. The main idea is to start from an infinitary and colored relational semantics of the lambdaY-calculus already formulated, and to replace it by its finitary counterpart based on finite prime-algebraic lattices. Given a higher-order recursion scheme G, the finiteness of its interpretation in the model enables us to associate to any MSO formula phi a new higher-order recursion scheme G_phi resolving the selection problem.

研究动机与目标

• 通过素代数格建立高阶递归方案的有限、定性语义。
• 为高阶模型检测中选择问题的可判定性提供一种形式化证明。
• 将线性逻辑语义与高阶模型检测中的自动机理论构造相联系。
• 表明在有限模型中对高阶递归方案的解释可生成交替parity自动机接受运行树的有限表示。
• 证明有限parity游戏中无记忆获胜策略对应于交类型系统中有限的、基于指针的推导树。

提出的方法

• 用基于素代数格的有限语义替代线性逻辑的无穷、着色关系语义。
• 在有限模型中构造一个参数化的不动点算子，以解释$λ Y$-演算中的递归类型。
• 定义一种带有回溯指针的着色交类型系统，以表示序列式推导树的有限表示。
• 将检查某个状态是否为接受状态的问题，简化为求解一个节点为类型系统中序列式的有限parity游戏。
• 利用有限parity游戏中获胜策略，构造一个新的高阶递归方案，该方案可为自动机生成一个见证运行树。
• 通过从推导树中获取的交类型，对原始HORS中的终结符和非终结符进行标注，以构建见证方案$σ_{\varphi}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用基于线性逻辑的有限、组合性语义来解决高阶模型检测中的选择问题？
• RQ2 基于素代数格的线性逻辑有限语义是否为高阶模型检测提供一个可判定的框架？
• RQ3 如何利用有限parity游戏中获胜策略的存在性来构造一个生成见证的高阶递归方案？
• RQ4 着色交类型系统中的推导与交替parity自动机的接受运行树之间存在何种精确对应关系？
• RQ5 能否利用Scott模型中解释的有限性来确保选择问题的可判定性？

主要发现

• 选择问题可判定：对于任意高阶递归方案$σ$和MSO公式$φ$，可算法构造出一个新的HORS$σ_{\varphi}$，其可生成一个见证运行树。
• 通过素代数格实现的线性逻辑有限语义确保推导中仅出现有限多个交类型和上下文，从而实现可判定性。
• 检查状态$q_0$是否为交替parity自动机在$σ$生成的树上的接受状态，可简化为检查$q_0 \in [\![\sigma]\!]_{\mathcal{A}}$，由于有限性，该判断是可判定的。
• 有限parity游戏中无记忆获胜策略对应于交类型系统中有限的、基于指针的推导树表示。
• $σ_{\varphi}$的构造是组合性的，基于从推导树中获取的交类型对原始HORS进行标注，从而保持原始方案的结构。
• 该方法提供了一种新颖、概念性的选择问题证明，基于线性逻辑语义，与Carayol和Serre的自动机理论证明方法不同。