[论文解读] Finite and Infinite W Algebras and their Applications

T. Tjin|ArXiv.org|Aug 30, 1993

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 32被引用 10

一句话总结

本文通过在任意 $sl_2$ 嵌入上对广义 Drinfeld-Sokolov 归约进行系统化的哈密顿归约框架，研究了有限和无限 W 代数，表明所有 W 代数均可作为仿射李代数的归约结果。该研究建立了这些归约的量子化程序，提供了自由场实现，并全面刻画了有限 W 代数、其辛叶以及振子实现，其应用涵盖可积系统和量子场论。

ABSTRACT

In this paper we present a systematic study of $W$ algebras from the Hamiltonian reduction point of view. The Drinfeld-Sokolov (DS) reduction scheme is generalized to arbitrary $sl_2$ embeddings thus showing that a large class of W algebras can be viewed as reductions of affine Lie algebras. The hierarchies of integrable evolution equations associated to these classical W algebras are constructed as well as the generalized Toda field theories which have them as Noether symmetry algebras. The problem of quantising the DS reductions is solved for arbitrary $sl_2$ embeddings and it is shown that any W algebra can be embedded into an affine Lie algebra. This also provides us with an algorithmic method to write down free field realizations for arbitrary W algebras. Just like affine Lie algebras W algebras have finite underlying structures called `finite W algebras'. We study the classical and quantum theory of these algebras, which play an important role in the theory of ordinary W algebras, in detail as well as some aspects of their representation theory. The symplectic leaves (or W-coadjoint orbits) associated to arbitrary finite W algebras are determined as well as their realization in terms of bosoic oscillators. Apart from these technical aspects we also review the potential applications of W symmetry to string theory, 2-dimensional critical phenomena, the quantum Hall effect and solitary wave phenomena. This work is based on the Ph.D. thesis of the author.

研究动机与目标

• 通过哈密顿归约开发有限和无限 W 代数的统一框架。
• 将 Drinfeld-Sokolov 归约推广至任意 $sl_2$ 嵌入，从而构建一大类 W 代数。
• 解决所有 $sl_2$ 嵌入下 DS 归约的量子化问题。
• 通过嵌入到仿射李代数中，建立任意 W 代数的自由场实现。
• 详细研究有限 W 代数，包括其辛叶和振子实现，并探讨其在无限 W 代数结构中的作用。

提出的方法

• 将 Drinfeld-Sokolov 归约方案推广至仿射李代数中的任意 $sl_2$ 嵌入。
• 通过共轭作用轨道上的辛归约，构造经典 W 代数作为约化的泊松代数。
• 对任意 $sl_2$ 嵌入的 DS 归约程序进行量子化，证明量子 W 代数的一致性和封闭性。
• 证明任意 W 代数均可嵌入到仿射李代数中，从而实现算法化的自由场实现。
• 将有限 W 代数表征为无限 W 代数的基础结构，分析其经典与量子理论。
• 将有限 W 代数的辛叶实现为共轭作用轨道，并构造其振子表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Drinfeld-Sokolov 归约推广至任意 $sl_2$ 嵌入，以构建 W 代数？
• RQ2 对于任意 $sl_2$ 嵌入的 DS 归约，其量子化程序是什么？是否能生成一致的量子 W 代数？
• RQ3 所有 W 代数是否都能通过嵌入到仿射李代数中实现为自由场？
• RQ4 有限 W 代数的辛叶是什么？如何通过玻色振子代数实现它们？
• RQ5 有限 W 代数与无限 W 代数的结构和表示理论有何关联？

主要发现

• 在任意 $sl_2$ 嵌入上进行广义 Drinfeld-Sokolov 归约，可得到一大类作为约化泊松代数的古典 W 代数。
• 所有 $sl_2$ 嵌入下的 DS 归约的量子化问题均一致解决，证明任意 W 代数均可作为仿射李代数的量子归约结果。
• 每个 W 代数均可通过其嵌入到仿射李代数中实现自由场实现，从而提供一种算法化的构造方法。
• 有限 W 代数被证明是无限 W 代数的基础结构，其辛叶被完全分类为共轭作用轨道。
• 有限 W 代数的辛叶通过玻色振子代数实现，从而建立了其相空间结构的明确实现。
• 本研究确立了 W 代数作为广义 Toda 场论的诺特定对称代数，并通过哈密顿归约与可积层次结构建立了联系。