[论文解读] Finite canonization

Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 1995

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用 5

一句话总结

本文改进了经典Ramsey型函数ER(n,m)的界，证明了对固定n而言，计算ER(n,m)所需的幂次运算次数是最优的。本文建立了有限正规化定理，表明对于任意定义在n元子集上的函数，均存在一个同质集合，使得函数相等性仅取决于坐标位置的匹配，而非具体取值。

ABSTRACT

The canonization theorem says that for given m,n for some m^* (the first one is called ER(n;m)) we have: for every function f with domain [{1, ...,m^*}]^n, for some A in [{1, ...,m^*}]^m, the question of when the equality f({i_1, ...,i_n})=f({j_1, ...,j_n}) (where i_1< ...

研究动机与目标

• 细化canonical Ramsey函数ER(n,m)的上界，该函数控制n元子集上函数的同质集合。
• 确定对固定n而言，计算ER(n,m)所需的最小幂次运算次数。
• 证明先前已知的ER(n,m)界在幂次运算次数上是紧的。
• 提供一个有限正规化结果，其中函数相等性仅取决于子集中位置的匹配。
• 为有限组合学与Ramsey理论中正规结构的理解做出贡献。

提出的方法

• 应用有限组合方法分析{1,…,m*}中n元子集上的函数。
• 使用canonical等价的概念：f(A) = f(B)当且仅当A与B中某些索引相等。
• 构造一个大小为m的同质集合A ⊆ {1,…,m*}，使得函数相等性仅取决于位置匹配。
• 采用归纳法与递归界估计技术，最小化界中幂次运算的次数。
• 分析函数等价类的结构，推导出ER(n,m)可能的最小增长率。
• 通过构造匹配的下界，证明界中幂次运算的次数是最优的。

实验结果

研究问题

• RQ1 对固定n而言，界定ER(n,m)所需的最小幂次运算次数是多少？
• RQ2 n元子集上函数相等性的canonical结构能否简化为仅依赖于位置匹配？
• RQ3 先前已知的ER(n,m)界在幂次运算次数上是否紧？
• RQ4 是否存在一个同质集合，使得函数相等性完全由坐标位置的相等决定？
• RQ5 ER(n,m)的增长率与其表达式中幂次运算的次数有何关系？

主要发现

• 对固定n而言，计算ER(n,m)所需的幂次运算次数是最优的。
• 对任意定义在{1,…,m*}中n元子集上的函数f，均存在一个大小为m的同质集合A，使得f(A) = f(B)当且仅当A与B中相同位置匹配。
• ER(n,m)的界得到改进，使得幂次运算次数达到最小可能值。
• 函数相等性的canonical结构由位置匹配决定：f({i_1,…,i_n}) = f({j_1,…,j_n})当且仅当对某个固定的子集v ⊆ {1,…,n}，有i_l = j_l对所有l ∈ v成立。
• 结果确认了先前已知的界在幂次运算次数上是紧的，解决了有限正规化理论中的一个开放问题。
• 本文建立了具有最小增长率复杂度的有限正规化定理。