[论文解读] Finite Chow-Witt correspondences

Baptiste Calmès, Jean Fasel|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 31

一句话总结

本文在特征 ≠ 2 的完美域上引入了有限 MW-对应关系的范畴，通过结合带有二次数据的Chow-Witt群，推广了Voevodsky的有限对应关系。它定义了扩展经典 motivic 同调至负 q-度的 MW- motivic 同调群，其中这些群与 Gersten-Witt 复形的同调相等同；并证明了沿有限生成域扩张的基变换在 MW-对应关系上诱导出同构。

ABSTRACT

We introduce the category of finite Chow-Witt correspondences over a perfect field k of characteristic not 2. We then use them to define bigraded generalized motivic cohomology groups of a smooth scheme over k and begin the study of their relationship with ordinary motivic cohomology groups.

研究动机与目标

• 通过结合来自 Chow-Witt 群的二次数据，推广 Voevodsky 的有限对应关系范畴。
• 定义一个新范畴——有限 MW-对应关系，其支持有限的、具有平凡化相对 canonical 簧的覆盖映射的转移。
• 构建扩展经典 motivic 同调至负 q-度的 MW- motivic 同调群。
• 建立 MW- motivic 同调的基础性质，包括基变换与迹映射。
• 为 Hermitian K-理论的应用以及通过 Atiyah-Hirzebruch 型谱序列研究稳定同伦层奠定基础。

提出的方法

• 使用带有支撑的 Chow-Witt 群 $\widetilde{\mathrm{CH}}^d_T(X \times Y, \omega_Y)$ 定义范畴 $\widetilde{\mathrm{Cor}}_k$ 的有限 MW-对应关系。
• 构造一个函子 $\mathrm{Sm}_k \to \widetilde{\mathrm{Cor}}_k \to \mathrm{Cor}_k$，其分解了经典对应函子。
• 将 MW- motivic 同调群 $\mathrm{H}^{p,q}_{\mathrm{MW}}(X, \mathbb{Z})$ 定义为 $X$ 上一个层复形的上同调。
• 利用 Gersten-Witt 复形将负 q-度的 MW-同调识别为该复形的同调。
• 建立基变换同构 $\Psi_{L/k}: \widetilde{\mathrm{Cor}}_k(X_L, Y) \xrightarrow{\sim} \widetilde{\mathrm{Cor}}_L(X_L, Y_L)$，其中 $L/k$ 为有限生成域扩张。
• 证明复合映射 $\mathrm{tr}_{L/k} \circ \mathrm{bc}_{L/k}$ 在 $\mathrm{K}^\mathrm{MW}_0(k)$ 中作用为乘以迹形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Voevodsky 的有限对应关系范畴推广，以纳入来自 Chow-Witt 群的二次数据？
• RQ2 对于光滑概形 $X$ 与整数 $p,q$，MW- motivic 同调群 $\mathrm{H}^{p,q}_{\mathrm{MW}}(X, \mathbb{Z})$ 的结构是什么？
• RQ3 MW- motivic 同调群在沿有限生成域扩张的基变换下如何表现？
• RQ4 MW- motivic 同调与负 q-度下的 Gersten-Witt 复形之间有何关系？
• RQ5 MW- motivic 同调能否作为计算更高 Grothendieck-Witt 群的 Atiyah-Hirzebruch 型谱序列的基础？

主要发现

• 范畴 $\widetilde{\mathrm{Cor}}_k$ 的有限 MW-对应关系通过纳入来自 Chow-Witt 群的二次数据，扩展了 $\mathrm{Cor}_k$。
• MW- motivic 同调群 $\mathrm{H}^{p,q}_{\mathrm{MW}}(X, \mathbb{Z})$ 在 $q < 0$ 时非平凡，且在此范围内同构于 Gersten-Witt 复形的同调。
• 对于任意有限生成域扩张 $L/k$，基变换映射 $\Psi_{L/k}: \widetilde{\mathrm{Cor}}_k(X_L, Y) \xrightarrow{\sim} \widetilde{\mathrm{Cor}}_L(X_L, Y_L)$ 是同构。
• MW-同调上基变换与迹映射的复合作用为 $\mathrm{K}^\mathrm{MW}_0(k)$ 中的乘以迹形式。
• 带有 MW-转移的预层包括经典预层与转移，也包括如 $\mathbf{K}^\mathrm{MW}_n$ 和 $\mathbf{H}^\mathrm{A}^1_i(\mathbb{G}_m^{\wedge n})$ 的层，这些层缺乏经典转移。
• 由 $\widetilde{\mathrm{Cor}}_k$ 构建的导出范畴 $\widetilde{\mathrm{DM}}(k)$ 比经典范畴 $\mathrm{DM}(k)$ 更接近 $\mathrm{D}_{\mathbb{A}^1}^\mathrm{eff}(k)$，提示存在一种更精细的 motivic 同伦理论。