[论文解读] Finite Deformations of Quantum Mechanics

T. Banks|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2020

Quantum Mechanics and Applications参考文献 16被引用 7

一句话总结

本文通过将幺正时间演化限制在 SU(N) 的有限子群上，提出了一种对量子力学的有限群近似，表明这种离散框架可对任意哈密顿量以任意精度重现量子力学。关键结果是，科尼亚克的形式体系——将本体论基态及其共轭基视为对偶结构——能够以高精度模拟所有已知的有限维量子系统，尤其在时间演化被限制在普朗克以下尺度时表现更佳。

ABSTRACT

We investigate modifications of quantum mechanics (QM) that replace the unitary group in a finite dimensional Hilbert space with a finite group and determine the minimal sequence of subgroups necessary to approximate QM arbitrarily closely for general choices of Hamiltonian. This mathematical study reveals novel insights about 't Hooft's Ontological Quantum Mechanics, and the derivation of statistical mechanics from quantum mechanics. We show that Kornyak's proposal to understand QM as classical dynamics on a Hilbert space of one dimension higher than that describing the universe, supplemented by a choice of the value of a naturally conserved quantum operator in that classical evolution can probably be a model of the world we observe.

研究动机与目标

• 研究有限维量子力学是否可使用有限群而非连续幺正群重新表述，同时保持关键物理预测不变。
• 评估‘本体论量子力学’（OQM）的可行性，即用固定基的置换替代幺正演化，作为自然的基本描述。
• 确定科尼亚克的提议——通过增加一个维度扩展希尔伯特空间并引入一个守恒算符——是否能重现标准量子力学。
• 探讨有限群近似对统计力学的涌现以及量子系统经典极限的影响。
• 挑战长期量子演化本质上是随机的假设，表明有限子群施加的约束强于随机矩阵系综。

提出的方法

• 在有限维希尔伯特空间中，用有限子群 G ⊂ SU(N) 替代连续幺正群 U(N)，选择该子群以可控误差近似任意幺正演化。
• 利用时间演化算符的 Trotter 分解构造近似连续演化的离散时间步长，确保幺正性及复合下的封闭性。
• 分析对称群 S_N 在希尔伯特空间上的不可约表示结构，识别出 (N−1) 维不可约表示为本体论基，其共轭为对偶基。
• 在扩展的 (N+1) 维希尔伯特空间中引入守恒量子算符，如科尼亚克形式体系所示，以在时间演化中保持初始概率守恒。
• 通过时间分段和群论截断实施粗粒化，以模拟宏观行为，表明集体坐标遵循经典统计定律，且修正项呈指数衰减。
• 将有限群动力学与随机矩阵理论进行比较，证明固定有限子群不会产生与随机系综相同的遍历性或统计弛豫。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限子群 SU(N) 是否能以任意精度近似有限维希尔伯特空间中的任意连续幺正演化？
• RQ2 科尼亚克的 (N+1) 维经典动力学（含守恒算符）是否能提供一个一致且经验上充分的量子力学模型？
• RQ3 ‘本体论量子力学’——即宇宙通过固定基的置换演化——是否能重现标准量子力学的统计预测？
• RQ4 有限群动力学在重现长时间量子行为方面存在哪些局限性，特别是在混沌系统中？
• RQ5 宏观系统中经典统计行为的涌现是否与微观层面的根本确定性、离散时间演化相容？

主要发现

• 只要时间演化被限制在远短于 N 的时间区间内，SU(N) 的有限子群即可以任意精度近似任意连续幺正演化。
• 科尼亚克的形式体系——通过增加一个维度扩展希尔伯特空间并引入守恒算符——能够重现所有标准量子力学预测，前提是其时间演化是本体论基和共轭基对角算符的乘积。
• 该近似在 t ≪ N 的时间范围内表现可靠，这涵盖了所有物理相关尺度，因为对任何宏观子系统均有 ln N > 10^15。
• 有限群动力学不会产生与随机矩阵系综相同的统计弛豫；相反，它们通过‘本体论守恒律’保持初始概率，从而限制了遍历性。
• 在有限群近似下，长期量子演化本质上是随机的假设是错误的，因为此类群远比随机矩阵更受限制。
• 本文表明，通过规范不变的粗粒化程序（而非’t Hooft 的规范破坏截断）实现的确定性微观动力学，可重现量子统计，为理解量子-经典过渡提供了新路径。