[论文解读] Finite determinacy of matrices over local rings.II. Tangent modules to the miniversal deformations for group-actions involving the ring automorphisms

Genrich Belitskii, Dmitry Kerner|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文在包含环自同态（例如坐标变换）的群作用下，建立了局部环上矩阵有限确定性的判定准则，扩展了先前关于 $GL(m,R) \times GL(n,R)$-作用的结果。文章分析了极小变形的切模 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$，并推导出其零化子的界，提供了确定对称与反对称矩阵、模和形式有限确定性的显式支集条件。

ABSTRACT

We consider matrices with entries in a local ring, Mat(m,n;R). Fix an action of group G on Mat(m,n;R), and a subset of allowed deformations, Σin Mat(m,n;R). The standard question (along the lines of Singularity Theory) is the finite-(Σ,G)-determinacy of matrices. In our previous work this determinacy question was reduced to the study of the tangent spaces to Σand to the orbit, T_{(Σ,A)}, T_{(GA,A)}, and their quotient: the tangent module to the miniversal deformation. In particular, the order of determinacy is controlled by the annihilator of this tangent module. Then we have studied this tangent module for the group action GL(m,R) imes GL(n,R) on Mat(m,n;R) and for various natural subgroups of it. These are R-linear group actions. In the current work we study this tangent module for group actions that involve the automorphisms of the ring, or, geometrically, group-actions that involve the local coordinate changes. (These actions are not R-linear.) We obtain various bounds on the support of this module. This gives ready-to-use criteria of determinacy for matrices, (embedded) modules and (skew-)symmetric forms.

研究动机与目标

• 将有限确定性理论扩展至包含环自同态（如局部坐标变换）的群作用，而不仅限于线性作用。
• 分析此类作用下切模 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 的性质，特别关注对称与反对称矩阵的情形。
• 基于 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 及其零化子的支集，推导出有限确定性的显式准则。
• 推广 Maranda 型结果，并将喷射充分性推广至包含非 $R$-线性变换的群作用。
• 在存在坐标变换的情况下，提供几何与代数条件——特别是奇异点集上的条件——以确保有限确定性。

提出的方法

• 将有限 $(\Sigma,G)$-确定性问题转化为研究切模 $T^1_{(\Sigma,G,A)} = T_{(\Sigma,A)} / T_{(GA,A)}$。
• 通过在素理想处局部化及在剩余域上计算秩，分析 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 的支集。
• 利用合同作用下矩阵的分解，将问题约化为不变量如 $I_j(A)$ 与 $\det(A)$ 的研究。
• 应用奇异理论中的结果，如合同轨道的余维数，以界定 $T_{(\mathcal{G}_{congr}A,A)}$ 的秩。
• 依赖局部化与一般点分析，判断 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 是否仅在原点处有支集。
• 采用条件 $\mathfrak{m}^N \subseteq \operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,G,A)})$ 作为有限确定性的等价刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 当群作用包含环自同态时，矩阵 $A \in Mat_{m\times n}(R)$ 何时是有限确定的？
• RQ2 在存在坐标变换的情况下，切模 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 的支集如何决定有限确定性？
• RQ3 对称或反对称矩阵的有限确定性，其奇异点集 $V(I_j(A))$ 需满足何种几何条件？
• RQ4 当 $\operatorname{Der}_{\mathbb{k}}(R)$ 属于切空间时，其对 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 的结构有何影响？
• RQ5 在何种条件下，$T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 仅在原点处有支集，从而蕴含有限确定性？

主要发现

• 对于在 $\mathcal{G}_{congr} = GL(m,R) \rtimes \operatorname{Aut}_{\mathbb{k}}(R)$ 作用下的对称矩阵，若 $\operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,\mathcal{G}_{congr},A)}) = \{0\}$，则有限确定性成立，此情形发生在 $\operatorname{rank}(\operatorname{Der}_{\mathbb{k}}(R)) < \lfloor m/2 \rfloor$ 时。
• $T^1_{(\Sigma,\mathcal{G}_{congr},A)}$ 的零化子支集于一阶奇异点集 $\operatorname{Sing}_1(\det(A))$。
• 对于反对称矩阵，$\operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,\mathcal{G}_{congr},A)})$ 支集于 $\operatorname{Sing}_1(I_{m-1}(A))$。
• 在正规、诺特、赫斯曼情形下，$A \in Mat^{sym}_{m\times m}(R)$ 是有限-$(\Sigma^{sym},\mathcal{G}_{congr})$-确定的充分必要条件是所有 $V(I_j(A))$ 具有预期维数，且 $V(I_j(A)) \setminus V(I_{j-1}(A))$ 为光滑的。
• 当 $\operatorname{rank}(\operatorname{Der}_{\mathbb{k}}(R)) < \lfloor m/2 \rfloor$ 时，切模 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 在 $\operatorname{Spec}(R)$ 上一般性支集，意味着 $\operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,G,A)}) = \{0\}$。
• 有限确定性的判定准则等价于 $\mathfrak{m}^N \subseteq \operatorname{ann}(T^1_{(\Sigma,G,A)})$，该条件成立当且仅当 $T^1_{(\Sigma,G,A)}$ 仅在原点处有支集。