[论文解读] Finite dimensional modules for rational Cherednik algebras

Stephen Griffeth|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文通过互换算子和阿贝尔型Dunkl–Opdam算子族，为G(r,p,n)群的有理Cherednik代数构造了有限维模。通过超平面排列给出了显式的权基，并构造了余不变环的特征函数，其首项为G(1,1,n)情形下的下降单项式，推广了Garsia与Stanton的结果。

ABSTRACT

We construct and study some finite dimensional modules for rational Cherednik algebras for the groups G(r, p, n) by using intertwining operators and a commutative family of operators introduced by Dunkl and Opdam. The coinvariant ring and an analog of the ring constructed by Gordon in the course of proving Haiman’s conjectures on diagonal coinvariants are special cases. We study a certain hyperplane arrangement that determines a weight basis for the irreducible modules in an explicit fashion. Using the same methods we also construct a basis of eigenfunctions for the coinvariant ring for G(r,p, n) whose leading terms are, in the case of G(1,1, n), the descent monomials studied by Garsia and Stanton.

研究动机与目标

• 为与复反射群G(r,p,n)相关的有理Cherednik代数构造有限维模。
• 将余不变环及Gordon对对角余不变环的类比推广至G(r,p,n)情形。
• 通过超平面排列显式构造不可约模的权基。
• 构造余不变环的特征函数基，其首项在G(1,1,n)情形下对应下降单项式。

提出的方法

• 利用互换算子为G(r,p,n)的有理Cherednik代数构造有限维模。
• 应用Dunkl与Opdam引入的阿贝尔型算子族来分析这些模的结构。
• 通过超平面排列以显式、组合的方式确定不可约模的权基。
• 通过相同的算子框架与基构造方法，构造余不变环的特征函数。
• 基于G(1,1,n)情形下已知的下降单项式结构，识别特征函数基的首项。
• 通过阿贝尔型算子族建立模构造与有理Cherednik代数表示理论之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造G(r,p,n)有理Cherednik代数的有限维模？
• RQ2 Dunkl–Opdam阿贝尔型算子族在确定不可约模的权基中起什么作用？
• RQ3 与G(r,p,n)相关的超平面排列如何确定不可约模的权基？
• RQ4 能否构造余不变环的特征函数基，使其在G(1,1,n)情形下首项为下降单项式？
• RQ5 余不变环及Gordon对G(r,p,n)的类比在多大程度上推广了对角余不变环的结构？

主要发现

• 通过互换算子和Dunkl–Opdam阿贝尔型算子族，构造了G(r,p,n)有理Cherednik代数的有限维模。
• 与G(r,p,n)相关的超平面排列提供了不可约模权基的显式、组合构造。
• 构造了余不变环的特征函数基，其首项在G(1,1,n)情形下与Garsia和Stanton的下降单项式一致。
• 证明了G(r,p,n)的余不变环及Gordon的类比是所构造模的特例。
• 该方法为分析G(r,p,n)族中所有有理Cherednik代数的表示理论提供了一致框架。
• 该构造在代数结构与对称函数理论中的组合基之间建立了直接联系。