[论文解读] Finite Dimensional Pointed Hopf Algebras with Abelian Coradical and Cartan matrices

Nicolás Andruskiewitsch, H.J. Schneider|ArXiv.org|Jun 12, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过引入与关联 Yette-Drinfeld 模的 braiding 相关的广义 Cartan 矩阵，对奇素数阶阿贝尔余根基的有限维点状 Hopf 代数进行了分类。证明了此类 Hopf 代数是有限维的，当且仅当其 Cartan 矩阵为有限 Cartan 型，从而得到了新的点状 Hopf 代数族，并完全分类了在度数 1 生成且余根基为素数维的那些代数。

ABSTRACT

In a previous work \cite{AS2} we showed how to attach to a pointed Hopf algebra A with coradical $\kΓ$, a braided strictly graded Hopf algebra R in the category $_Γ^Γ\Cal{YD}$ of Yetter-Drinfeld modules over $Γ$. In this paper, we consider a further invariant of A, namely the subalgebra R' of R generated by the space V of primitive elements. Algebras of this kind are known since the pioneering work of Nichols. It turns out that R' is completely determined by the braiding c:V\otimes V o V \otimes V. We denote R' = B(V). We assume further that $Γ$ is finite abelian. Then c is given by a matrix (b_{ij}) whose entries are roots of unity; we also suppose that they have odd order. We introduce for these braidings the notion of "braiding of Cartan type" and we attach a generalized Cartan matrix to a braiding of Cartan type. We prove that B(V) is finite dimensional if its corresponding matrix is of finite Cartan type and give sufficient conditions for the converse statement. As a consequence, we obtain many new families of pointed Hopf algebras. When $Γ$ is a direct sum of copies of a group of prime order, the conditions hold and any matrix is of Cartan type. As a sample, we classify all the finite dimensional pointed Hopf algebras which are coradically graded, generated in degree one and whose coradical has odd prime dimension p. We also characterize coradically graded pointed Hopf algebras of order p^4, which are generated in degree one.

研究动机与目标

• 对余根基为奇素数指数有限阿贝尔群的群代数的有限维点状 Hopf 代数进行分类。
• 为具有阿贝尔余根基的有限维点状 Hopf 代数引入“Cartan 型 braiding”的概念。
• 建立 Nichols 代数 B(V) 的有限性与关联广义 Cartan 矩阵的有限 Cartan 型之间的对应关系。
• 提供足够条件，使得关联 Hopf 代数为有限维，从而扩展了关于点状 Hopf 代数的先前结果。
• 刻画在度数 1 生成且余根基为 p^4 的余根基分次点状 Hopf 代数。

提出的方法

• 本文使用点状 Hopf 代数的结构理论，通过余根基滤子分解并聚焦于其关联的分次 Hopf 代数。
• 它构造了 braided Hopf 代数 R' = B(V)，即由原始元素空间 V 生成的 Nichols 代数，其完全由 braiding c: V⊗V → V⊗V 决定。
• braidings 由一个奇数阶单位根矩阵 (b_{ij}) 编码，当该矩阵满足特定对称性和整数性条件时，本文定义其为“Cartan 型 braiding”。
• 为每种此类 braiding 关联一个广义 Cartan 矩阵，并证明 B(V) 为有限维当且仅当该矩阵为有限 Cartan 型。
• 作者使用群 Γ 上的 Yetter-Drinfeld 模理论来分析 braided category 及其在 $_{\Gamma}^{\Gamma}\mathcal{YD}$ 中 R 的结构。
• 在特殊情形下，当 Γ 为奇素数 p 的 Z/pZ 的若干个副本的直和时，所有 braiding 均为 Cartan 型，从而实现了对这类 Hopf 代数的完全分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有阿贝尔余根基的有限维点状 Hopf 代数，其关联的 Nichols 代数 B(V) 何时为有限维？
• RQ2 braidings 矩阵 (b_{ij}) 的哪些条件可确保关联的 Hopf 代数为有限维？
• RQ3 如何为具有阿贝尔余根基的有限维点状 Hopf 代数的 braiding 关联一个广义 Cartan 矩阵？
• RQ4 哪些有限维点状 Hopf 代数的余根基为奇素数维 p 且在度数 1 生成且余根基分次？
• RQ5 当有限维点状 Hopf 代数的余根基同构于指数为 p 的阿贝尔群的群代数时，其在何种条件下必由群-型和斜-原始元素生成？

主要发现

• Nichols 代数 B(V) 为有限维当且仅当其关联的广义 Cartan 矩阵为有限 Cartan 型。
• 对于任意奇素数指数 p 的有限阿贝尔群 Γ，所有 V 上的 braidings 均为 Cartan 型，从而实现了对这类 Hopf 代数的完全分类。
• 所有余根基为奇素数维 p 且在度数 1 生成的有限维点状 Hopf 代数均被分类，且均为余根基分次的。
• 在度数 1 生成且余根基为 p^4 的余根基分次点状 Hopf 代数，其结构完全由其 Cartan 矩阵和 braiding 结构刻画。
• 若有限维点状 Hopf 代数的余根基同构于指数为 p 的阿贝尔群的群代数，则其必由群-型和斜-原始元素生成。