[论文解读] Finite dimensional representations of rational Cherednik algebras

Yuri Berest, Pavel Etingof+1 more|ArXiv.org|Aug 19, 2002

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 29

一句话总结

本文对类型 A 的有理 Cherednik 代数的有限维不可约表示提供了完整的分类与特征公式，表明此类表示仅在参数 $ c = \pm r/n $ 且 $ \gcd(r,n) = 1 $ 时存在，并且唯一的有限维不可约模为：当 $ c = r/n $ 时为 $ L(\text{triv}) $，当 $ c = -r/n $ 时为 $ L(\text{sign}) $。此外，该研究通过几何实现将这些表示与 Hilbert 算子簇及 perverse sheaves 联系起来，并提出了涉及 $ (q,t) $-Catalan 数与 Kostka 多项式的大齐次特征的猜想。

ABSTRACT

A complete classification and character formulas for finite-dimensional irreducible representations of the rational Cherednik algebra of type A is given. Less complete results for other types are obtained. Links to the geometry of affine flag manifolds and Hilbert schemes are discussed.

研究动机与目标

• 对有理 Cherednik 代数 $ \mathcal{H}_c(S_n) $ 的所有有限维不可约表示进行分类，其中 $ W = S_n $。
• 推导这些表示的特征公式，并从参数 $ c \in \mathbb{C} $ 的角度理解其结构。
• 建立有限维表示与模空间（如 $ \mathbb{C}^2 $ 上点的 Hilbert 算子簇）之间的几何联系。
• 提出一个精确关系的猜想，将 $ L(\text{triv}) $ 的关联分次模与 Hilbert 算子簇上线丛的上同调联系起来，涉及 $ (q,t) $-Catalan 数与 Kostka 多项式。

提出的方法

• 使用标准模构造 $ M(\tau) = \mathcal{H}_c \otimes_{\mathbb{C}[\mathfrak{h}^*]\#W} \tilde{\tau} $，其中 $ \tilde{\tau} $ 是 $ W $-模 $ \tau $ 在半直积代数上的延拓。
• 应用范畴 $ \mathcal{O}(\mathcal{H}_c) $ 的理论，该范畴定义为具有局部幂零 $ \mathfrak{h} $-作用的有限生成 $ \mathcal{H}_c $-模的范畴。
• 通过 $ \mathfrak{h} $ 的作用在最低权模 $ L_c(\text{triv}) $ 上构造一个滤子，并分析其分次模 $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ 作为双分次空间的结构。
• 定义 $ \mathtt{gr}(\mathbf{e} \cdot L_c(\text{triv})) $ 的双分次特征，其中 $ \mathbf{e} $ 是一个本原幂等元，并将其与 $ \text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2) $ 上线丛的上同调联系起来。
• 利用通过群特征 $ \varepsilon $ 的扭转变换得到的同构 $ \mathcal{H}_c \cong \mathcal{H}_{\varepsilon \cdot c} $，将 $ c $ 和 $ \varepsilon \cdot c $ 处的表示联系起来，保持表示范畴的等价性。
• 提出猜想，将 $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ 与 $ H^0(\text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2), \mathscr{R} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) $ 联系起来，其中 $ \mathscr{R} $ 是具有正则 $ S_n $-作用的典范丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些复参数 $ c \in \mathbb{C} $，有理 Cherednik 代数 $ \mathcal{H}_c(S_n) $ 存在有限维不可约表示？
• RQ2 当这些表示存在时，其显式特征公式是什么？
• RQ3 这些表示如何通过 Hilbert 算子簇或 $ \text{Hilb}^n(\mathbb{C}^2) $ 上的层上同调实现几何化？
• RQ4 分次模 $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ 的双分次结构与 $ (q,t) $-Catalan 数或 Kostka 多项式之间存在何种精确关系？
• RQ5 能否通过 $ \text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2) $ 上线丛的上同调，将 $ \mathcal{H}_c $-模 $ L_c(\text{triv}) $ 实现为 $ W $-等变的 $ \mathbb{T} $-模？

主要发现

• 有限维不可约表示仅在 $ c = \pm r/n $ 且 $ r \in \mathbb{N} $ 满足 $ \gcd(r,n) = 1 $ 时存在，且这些是唯一的此类参数。
• 当 $ c = r/n $ 时，唯一的有限维不可约表示是 $ L(\text{triv}) $；当 $ c = -r/n $ 时，为 $ L(\text{sign}) $，从而在类型 A 中完成了完整分类。
• 关联分次模 $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ 从 $ \mathfrak{h} $-作用中自然继承双分次结构，其双分次特征被猜想为 $ c = 1/n + k $ 时的 $ (q,t) $-Catalan 数 $ C_n^{(k)}(q,t) $。
• 猜想 7.10 将 $ \mathtt{gr}(\mathbf{e} \cdot L_c(\text{triv})) $ 识别为 $ H^0(\text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2), \mathcal{L}^{\otimes k}) $，为模的结构提供了几何实现。
• 猜想 7.11 将 $ \mathtt{gr} L_c(\text{triv}) $ 与 $ \mathsf{sign} \otimes H^0(\text{Hilb}^n_o(\mathbb{C}^2), \mathscr{R} \otimes \mathcal{L}^{\otimes k}) $ 联系起来，其中 $ \mathscr{R} $ 是具有正则 $ S_n $-作用的典范丛。
• 猜想 7.11 在 $ k = 0 $ 时已知为真，并恢复了 Gordon 关于对角调和的结论，从而在初始情形下证实了该猜想。