[论文解读] Finite dimensional solutions to SPDEs and the geometry of infinite jet bundles

De Vecchi, Carla De Francesco|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 4

一句话总结

该论文通过引入基于无限喷层丛的几何框架，将微分约束方法从确定性PDE扩展到随机PDE，实现了有限维解的显式计算。该方法发展出一种实用算法，适用于金融领域的HJM模型、流体动力学以及滤波理论中的SPDE，首次获得了此前未知的精确有限维解。

ABSTRACT

Finite dimensional solutions to a class of stochastic partial differential equations are obtained extending the differential constraints method for deterministic PDE to the stochastic framework. A geometrical reformulation of the stochastic problem using the concept of infinite jet bundles is provided and a practical algorithm for explicitly computing these finite dimensional solutions is developed. This method, covering the majority of the current literature, is applied to a set of new SPDEs admitting finite dimensional solutions taken from Heath-Jarrow-Morton framework, stochastic hydrodynamics and filtering theory.

研究动机与目标

• 将适用于确定性PDE的微分约束方法推广至随机设定。
• 利用无限喷层丛对随机PDE进行几何重表述，以捕捉解的结构。
• 开发一种实用算法，显式计算SPDE的有限维解。
• 识别并求解在金融、流体动力学及滤波领域中可接受有限维解的新类SPDE。
• 在统一的几何与算法框架下，整合并推广现有有限维SPDE结果。

提出的方法

• 通过引入伊藤微积分与随机微分，将微分约束方法适配于随机PDE。
• 利用无限喷层丛的几何结构重表述随机PDE问题，以编码高阶导数与随机约束。
• 在喷层空间上推导出刻画原始SPDE有限维解的一组确定性PDE系统。
• 应用递归算法求解所得系统，将SPDE约化为有限维常微分方程或偏微分方程组。
• 利用喷层丛形式化系统处理SPDE中非马氏性与非半鞅结构。
• 在已知SPDE上验证该方法，并将其扩展至来自Heath-Jarrow-Morton框架、随机流体动力学及非线性滤波的新型SPDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过几何结构将微分约束方法推广至随机PDE？
• RQ2 如何系统性地利用无限喷层丛重表述并求解随机PDE？
• RQ3 在该框架下，哪些类SPDE可接受有限维解？
• RQ4 该方法能否恢复或扩展金融与流体动力学中已知的有限维解？
• RQ5 何种算法流程可实现此类解的显式计算？

主要发现

• 该方法成功计算出一大类SPDE的有限维解，包括利率建模中Heath-Jarrow-Morton框架下的SPDE。
• 通过无限喷层丛实现的几何重表述，为分析与推导跨不同SPDE应用的有限维解提供了统一语言。
• 该算法通过将随机PDE约化为喷层空间上的确定性方程组，实现了对解的显式构造。
• 在该框架下，识别出随机流体动力学与非线性滤波中的新型SPDE，其可接受有限维解。
• 该方法普遍化并涵盖大多数已知的有限维SPDE结果，提供了一套系统且可计算的方法。
• 该方法揭示了SPDE中隐藏的结构，这些结构在标准方法中难以察觉，尤其在非马氏设定下。