[论文解读] Finite element approximation of power mean curvature flow

Heiko Kröner|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在 $^{n+1}$ 中近似幂平均曲率流（PMCF）的有限元方法，采用带有 $C^0$ 有限元（次数 $\leq 2$）的正则化水平集公式。对于 $n=1$，建立了形如 $\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda + c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$ 的收敛速率，证明了在正则化参数 $\epsilon$ 和网格尺寸 $h$ 上均为多项式收敛。

ABSTRACT

In [21] the evolution of hypersurfaces in $\mathbb{R}^{n+1}$ with normal speed equal to a power $k>1$ of the mean curvature is considered and the levelset solution $u$ of the flow is obtained as the $C^0$-limit of a sequence $u^ε$ of smooth functions solving the regularized levelset equations. We prove a rate for this convergence. Then we triangulate the domain by using a tetraeder mesh and consider continuous finite elements, which are polynomials of degree $\le 2$ on each tetraeder of the triangulation. We show in the case $n=1$ (i.e. the evolving hypersurfaces are curves), that there are solutions $u^ε_h$ of the above regularized equations in the finite element sense, and estimate the approximation error between $u^ε_h$ and $u$. Our method can be extended to the case $n>1$, if one uses higher order finite elements.

研究动机与目标

• 开发一种用于近似幂平均曲率流（PMCF）的数值格式，PMCF 是一种非线性几何演化过程，其法向速度为平均曲率的幂 $k>1$。
• 通过将正则化水平集公式作为中间步骤，建立 PMCF 的水平集解的有限元近似的收敛速率。
• 分析精确粘性解 $u$、正则化解 $u^\epsilon$ 和有限元解 $u_h^\epsilon$ 之间的误差，特别是在 Hölder 范数下。
• 将该方法推广至高维（$n>1$），使用高阶有限元，并为收敛速率提供理论依据。

提出的方法

• 通过水平集方程表述 PMCF：在 $\Omega$ 中，$\text{div}\left(\frac{Du}{|Du|}\right) = -|Du|^{-1/k}$，且在 $\partial\Omega$ 上 $u=0$，其中 $u$ 是粘性解。
• 引入正则化水平集方程：$\text{div}\left(\frac{Du^\epsilon}{\sqrt{\epsilon^2 + |Du^\epsilon|^2}}\right) = - (\epsilon^2 + |Du^\epsilon|^2)^{-1/(2k)}$，确保对小的 $\epsilon>0$，解 $u^\epsilon$ 光滑。
• 使用四面体网格 $\mathbb{T}_h$ 对区域进行离散化，并在每个四面体上定义次数 $\leq 2$ 的连续 $C^0$ 有限元。
• 通过在有限元空间中求解正则化方程，利用 Galerkin 或弱形式构造有限元解 $u_h^\epsilon$。
• 应用误差分解：$\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq \|u - u^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} + \|u^\epsilon - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}}$，其中第一项通过粘性解理论估计，第二项通过有限元逼近理论估计。
• 利用逆估计、插值误差界以及 $L^\mu$ 和 $H^{1,\mu}$ 范数下的稳定性估计来控制有限元误差，仔细追踪依赖于 $\epsilon$ 和 $h$ 的常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $n=1$，有限元近似在 $C^{0,\Theta}$ 范数下对幂平均曲率流的粘性解的收敛速率是什么？
• RQ2 正则化参数 $\epsilon$ 和网格尺寸 $h$ 如何相互作用，以在 PMCF 的有限元近似中实现多项式收敛速率？
• RQ3 能否显式地建立精确解 $u$、正则化解 $u^\epsilon$ 和有限元解 $u_h^\epsilon$ 之间误差的上界，且显式依赖于 $\epsilon$ 和 $h$？
• RQ4 是否可以将有限元方法推广至高维（$n>1$），使用高阶单元，同时保持多项式收敛速率？
• RQ5 具有固定时间依赖性的水平集公式在简化曲率项中指数 $k>1$ 引入的非线性方面起到了什么作用？

主要发现

• 对于 $n=1$，本文建立了形如 $\|u - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda + c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$ 的收敛速率，其中任意 $0<\Theta<\frac{1}{2}$，且 $\lambda, \gamma, \delta$ 为显式正的常数，依赖于 $\Theta$ 和 $k$。
• 粘性解 $u$ 与正则化解 $u^\epsilon$ 之间的误差以 $\|u - u^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}} \leq c\epsilon^\lambda$ 的形式衰减，其中 $\lambda = \lambda(\Theta,k)$，证明了正则化解在 Hölder 范数下收敛于真实解。
• 有限元误差 $\|u^\epsilon - u_h^\epsilon\|_{C^{0,\Theta}}$ 被界为 $c\epsilon^{-\gamma}h^\delta$，表明必须根据 $\epsilon$ 精确选择网格尺寸 $h$ 以维持收敛性。
• 该分析依赖于有限元误差的 $L^\mu$ 和 $H^{1,\mu}$ 估计，利用逆估计和插值误差界来控制对 $h$ 和 $\epsilon$ 的依赖。
• 对于 $n>1$，该方法可推广至高阶有限元，尽管收敛速率分析仅在 $n=1$ 时详细展开。
• 具有固定时间依赖性的水平集公式确保了来自指数 $k>1$ 的非线性仅影响低阶空间导数，相较于时间依赖的水平集公式，简化了分析。