[论文解读] Finite Element Approximations for Elliptic SPDEs with Additive Gaussian Noises

Yanzhao Cao, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design被引用 2

一句话总结

本文针对带有加性高斯白噪声的半线性椭圆随机偏微分方程（SPDE），提出了一种谱有限元方法，通过谱投影方法对协方差算子进行近似，从而在无需与拉普拉斯算子可交换的条件下逼近噪声。该方法建立了适定性并获得了最优误差估计，表明在1D情况下收敛率提高了半个阶，在高维情况下则实现了微小的收敛率提升，适用于由白噪声驱动的问题。

ABSTRACT

The paper studies the well-posedness and optimal error estimates of spectral finite element approximations for the boundary value problems of semi-linear elliptic SPDEs driven by white or colored Gaussian noises. The noise term is approximated through the spectral projection of the covariance operator, which is not required to be commutative with the Laplacian operator. Through the convergence analysis of SPDEs with the noise terms replaced by the projected noises, the well-posedness of the SPDE is established under certain covariance operator-dependent conditions. These SPDEs with projected noises are then numerically approximated with the finite element method. A general error estimate framework is established for the finite element approximations. Based on this framework, optimal error estimates of finite element approximations for elliptic SPDEs driven by power-law noises are obtained. It is shown that with the proposed approach, convergence order of white noise driven SPDEs is improved by half for one-dimensional problems, and by an infinitesimal factor for higher-dimensional problems.

研究动机与目标

• 建立由白噪声或色噪声驱动的半线性椭圆SPDE的适定性。
• 为噪声协方差算子与拉普拉斯算子不可交换的SPDE开发有限元方法。
• 为这类SPDE的有限元逼近建立通用的误差估计框架。
• 获得由幂律噪声驱动的SPDE的最优收敛率。
• 改进由白噪声驱动的SPDE的收敛阶，特别是在低维与高维情形下。

提出的方法

• 通过协方差算子的谱投影近似噪声项，使得分析过程无需依赖其与拉普拉斯算子的可交换性。
• 分析投影噪声项下SPDE的收敛性，基于协方差算子相关的条件建立适定性。
• 应用有限元方法数值求解投影后的SPDE，并保证收敛性。
• 建立适用于一大类带有加性高斯噪声的椭圆SPDE的通用误差估计框架。
• 通过利用噪声的谱结构与解的正则性，推导出最优误差估计。
• 采用泛函分析技术与随机伽辽金格式，确保方法的稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声经谱投影后，协方差算子在何种条件下可保证SPDE的适定性？
• RQ2 谱投影的选择如何影响有限元逼近的收敛行为？
• RQ3 对于带有幂律噪声的椭圆SPDE，其有限元逼近可达到的最优收敛率是多少？
• RQ4 能否改进由白噪声驱动的SPDE的收敛阶？若能，提升幅度如何？
• RQ5 问题的维度如何影响该方法带来的收敛率增益？

主要发现

• SPDE的适定性在依赖于协方差算子谱性质的条件下得以建立。
• 有限元方法对由幂律噪声驱动的椭圆SPDE实现了最优误差估计。
• 在一维白噪声驱动的SPDE中，与标准方法相比，收敛阶提高了半个阶。
• 在高维问题中，由于谱投影方法的引入，收敛阶提升了微小的量级。
• 当协方差算子与拉普拉斯算子不可交换时，该方法依然有效，显著扩展了其适用范围。
• 通用误差估计框架为分析各类带有加性噪声的椭圆SPDE的有限元逼近提供了稳健基础。