[论文解读] Finite Element Exterior Calculus for Evolution Problems

Andrew Gillette, Michael Holst+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2012

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过将希尔伯特复形理论与时间参数化的博赫纳空间中的半隐式伽辽金有限元方法相结合，将有限元外微分计算（FEEC）框架扩展至抛物型与双曲型演化问题。在自然参数化希尔伯特范数下建立了最优先验误差估计，推广了 Thomée（抛物型）与 Geveci（双曲型）的经典结果至任意空间维数及混合有限元族，同时通过 Holst-Stern 框架将结果扩展至半线性演化系统。

ABSTRACT

Arnold, Falk, and Winther [Bull. Amer. Math. Soc. 47 (2010), 281--354] showed that mixed variational problems, and their numerical approximation by mixed methods, could be most completely understood using the ideas and tools of Hilbert complexes. This led to the development of the Finite Element Exterior Calculus (FEEC) for a large class of linear elliptic problems. More recently, Holst and Stern [Found. Comp. Math. 12:3 (2012), 263--293 and 363--387] extended the FEEC framework to semi-linear problems, and to problems containing variational crimes, allowing for the analysis and numerical approximation of linear and nonlinear geometric elliptic partial differential equations on Riemannian manifolds of arbitrary spatial dimension, generalizing surface finite element approximation theory. In this article, we develop another distinct extension to the FEEC, namely to parabolic and hyperbolic evolution systems, allowing for the treatment of geometric and other evolution problems. Our approach is to combine the recent work on the FEEC for elliptic problems with a classical approach to solving evolution problems via semi-discrete finite element methods, by viewing solutions to the evolution problem as lying in time-parameterized Hilbert spaces (or Bochner spaces). Building on classical approaches by Thomee for parabolic problems and Geveci for hyperbolic problems, we establish a priori error estimates for Galerkin FEM approximation in the natural parametrized Hilbert space norms. In particular, we recover the results of Thomee and Geveci for two-dimensional domains and lowest-order mixed methods as special cases, effectively extending their results to arbitrary spatial dimension and to an entire family of mixed methods. We also show how the Holst and Stern framework allows for extensions of these results to certain semi-linear evolution problems.

研究动机与目标

• 将有限元外微分计算（FEEC）框架从椭圆问题扩展至抛物型与双曲型演化问题。
• 将 Thomée（抛物型）与 Geveci（双曲型）的经典先验误差估计推广至任意空间维数及混合有限元方法。
• 在 FEEC 框架中整合变分罪与半线性项，用于演化系统，基于 Holst 与 Stern 的前期工作。
• 利用希尔伯特复形结构与德拉姆复形，建立时间参数化博赫纳空间中的误差估计。
• 证明 FEEC 框架在黎曼流形上的几何与非线性演化问题中具有稳定性与收敛性。

提出的方法

• 将演化问题表述为时间参数化的希尔伯特空间（博赫纳空间），以将 FEEC 工具应用于时间依赖的 PDE。
• 通过希尔伯特复形与德拉姆复形应用 FEEC 框架，处理演化系统的混合变分公式。
• 采用半隐式伽辽金有限元方法，仅在空间方向进行离散化，同时保持时间连续性。
• 采用 Holst 与 Stern 的抽象误差估计，并通过参数化范数与时间依赖投影将其适配至演化问题。
• 借用并扩展 Holst 与 Stern [21] 的抽象误差估计 (A.1)，简化为 k=n 的情形，并消除调和形式。
• 利用有限元投影 π_h^k 的最优逼近性质，将误差项以精确解的索伯列夫范数形式有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过希尔伯特复形理论将 FEEC 框架扩展至抛物型与双曲型演化问题？
• RQ2 Thomée 与 Geveci 的经典先验误差估计是否可推广至任意空间维数与高阶混合有限元方法？
• RQ3 FEEC 框架能否容纳演化问题中的变分罪与半线性项？
• RQ4 德拉姆复形与博赫纳空间结构在推导时间依赖混合有限元方法误差估计中起何作用？
• RQ5 抽象误差估计中的系数 η、δ、μ 如何影响演化问题中的收敛速率？

主要发现

• 本文在博赫纳空间范数下建立了抛物型与双曲型演化问题的伽辽金 FEM 近似解的最优先验误差估计。
• 解 u 在 L² 范数下的误差估计被控制为 c(E(u) + ηE(σ) + (δ+μ)E(dσ) + μE(P_B u))，其中 E(w) 表示在 W-norm 下的最佳逼近误差。
• 当德拉姆复形中 k=n 时，估计简化为 ||u - ũ_h||_L² ≤ c(E(u) + ηE(σ) + (δ+μ)E(dσ) + μE(P_B u))，通过消除调和形式与恰当形式。
• 收敛率被证明为 O(h^{s+2})，其中 s ≤ r+1，s 为索伯列夫正则性，r 为有限元空间的多项式阶次。
• 系数 η=O(h)，δ=O(h^{min(2,r+1)})，μ=O(h^{r+1}) 由德拉姆框架中的抽象算子范数导出。
• 结果在二维区域与最低阶混合方法的特例下，恢复并推广了 Thomée 与 Geveci 的估计。