[论文解读] Finite Element Solution of the Two-Dimensional Bates Model for Option Pricing Under Stochastic Volatility and Jumps

Neda Bagheri Renani, Sevcovic, Daniel|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2026

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一句话总结

本文提出一种用于变换后的 Bates PIDE 的四阶紧致有限差分（HOC-FD）格式，采用 IMEX-CN 时间离散化和 Simpson 积分处理跳跃积分，并将其与二阶 FD 和二次有限元法（FEM）进行基准比较，以证明在可比精度下具有更高的效率。

ABSTRACT

We propose a fourth--order compact finite--difference (HOC--FD) scheme for the transformed Bates partial integro--differential equation (PIDE). The method employs an implicit--explicit (IMEX) Crank--Nicolson framework for local terms and Simpson quadrature for the jump integral. Benchmarks against second--order finite differences (FD) and quadratic finite elements (FEM, p=2) confirm near--fourth--order spatial accuracy for HOC--FD, near--second--order for FEM, and second--order temporal convergence for all time integrators. Efficiency tests show that HOC--FD achieves similar accuracy at up to two orders of magnitude lower runtime than FEM, establishing it as a practical baseline for option pricing under stochastic volatility jump--diffusion models.

研究动机与目标

• 在含跳跃的随机波动情形下实现准确的数值定价的动机（如 Bates 模型）。
• 为变换后的 Bates PIDE 构建高阶紧致有限差分方案。
• 在与标准二阶 FD 和二次 FEM 的对比中评估精度与效率。
• 证明 HOC-FD 在空间上接近四阶精度，且计算成本具有竞争力。

提出的方法

• 将 Bates PIDE 转换为适合数值计算的向后时间、归一化形式。
• 对局部微分算子在 3x3 领域内应用四阶紧致离散。
• 将局部算子隐式处理，跳跃积分显式通过 IMEX–Crank–Nicolson 方案处理。
• 在截断区间内使用 Simpson 求积对非局部跳跃项进行近似。
• 在精度（L2 和 RMSE）和效率（DOF、CPU 时间）方面对 HOC-FD 与二阶 FD 及 FEM（P2）进行基准比较。

Figure 1: European put price $V(S,t)$ under the Bates model for $S\in[70,130]$ . The intrinsic payoff $\max(K-S,0)$ and the no-arbitrage lower bound $\max\{Ke^{-rT}-S,0\}$ are shown as reference curves

实验结果

研究问题

• RQ1 一个四阶紧致有限差分方案是否可以在结构网格上准确求解 Bates PIDE？
• RQ2 HOC-FD 与标准二阶 FD 和 FEM(P2) 在空间/时间精度和计算成本方面的对比如何？
• RQ3 带显式跳跃处理的 IMEX–Crank–Nicolson 方法对于 Bates 型模型是否稳定高效？
• RQ4 相对于 FEM(P2)，HOC-FD 在带跳跃的随机波动下的欧洲期权定价效率提升是多少？

主要发现

• HOC-FD 实现了接近四阶的空间精度，而 FEM 在空间上达到接近二阶的精度。
• 所有时间积分器的时间收敛性大约为二阶。
• HOC-FD 显著提升了效率，在相近精度下运行时间通常比 FEM(P2) 快两个数量级。
• 与二阶 FD 相比，HOC-FD 及其同行在结构网格上的成本-精度平衡显著更优。