[论文解读] Finite elements for div and divdiv conforming symmetric tensors in arbitrary dimension

Long Chen, Xuehai Huang|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2021

Elasticity and Material Modeling被引用 5

一句话总结

本文通过双空间方法，在任意维数下构造了对称张量的 div 和 divdiv-符合有限元。通过将形状函数分解为迹、泡函数和正交子空间，并利用多项式复形与 Koszul 算子表征双空间，作者构建了弹性力学和四阶问题混合方法中稳定且符合的有限元。

ABSTRACT

Several div-conforming and divdiv-conforming finite elements for symmetric tensors on simplexes in arbitrary dimension are constructed in this work. The shape function space is first split as the trace space and the bubble space. The later is further decomposed into the null space of the differential operator and its orthogonal complement. Instead of characterization of these subspaces of the shape function space, characterization of the dual spaces are provided. Vector div-conforming finite elements are firstly constructed as an introductory example. Then new symmetric div-conforming finite elements are constructed. The dual subspaces are then used as build blocks to construct divdiv conforming finite elements.

研究动机与目标

• 为任意维数中的对称张量开发稳定且符合的有限元方法。
• 解决在低维以上缺乏 div 和 divdiv-符合元系统化构造的问题。
• 将现有的 Raviart-Thomas 和 BDM 型元推广至对称张量值函数。
• 提供一种基于双空间表征的统一框架，避免复杂的迹空间分析。
• 确保弹性力学和四阶问题混合格式中的最优收敛性与 inf-sup 稳定性。

提出的方法

• 利用微分算子将形状函数空间分解为迹空间、泡函数空间及其正交补空间。
• 通过格林公式与多项式复形表征双空间，特别关注 Koszul 算子的核。
• 利用双空间方法将自由度定义为与特定多项式子空间的内积，特别是 $\mathcal{N}(\ker(\cdot\mathbf{x}) \cap \mathbb{P}_{k-2}(K;\mathbb{S}))$。
• 首先基于向量值 Raviart-Thomas 和 BDM 型空间构造 div-符合元，再扩展至对称张量值的 divdiv-符合元。
• 通过在 $\mathbb{P}_k(K;\mathbb{S})$ 上添加 $\mathbf{x}\mathbf{x}^T\mathbb{H}_{k-1}(K)$ 构造 $\mathbb{P}_k^{-}(\mathbb{S})$-型元，以增强符合性。
• 采用基于点值、法向迹、切向迹以及对偏转和对称梯度算子的矩自由度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在任意维数下系统化构造对称张量的 div-符合有限元？
• RQ2 如何定义稳定且可推广的自由度，以确保混合方法中法向通量与散度的连续性？
• RQ3 Koszul 算子的双空间表征是否可替代复杂迹空间分析，用于构造符合有限元？
• RQ4 如何构造 divdiv-符合的对称张量元，以确保 $H(\operatorname{div}\operatorname{div})$-符合性与最优逼近？
• RQ5 所提出的 divdiv-符合元在混合格式中满足哪些 inf-sup 条件？

主要发现

• 双空间方法提供了一种通用且简便的方法来表征泡函数空间的双空间，避免了对子空间的显式刻画。
• 通过基于 $\mathcal{N}(\ker(\cdot\mathbf{x}) \cap \mathbb{P}_{k-2}(K;\mathbb{S}))$ 的自由度，实现了 $H(\operatorname{div};\mathbb{S})$-符合元的构造。
• 对于 $H(\operatorname{div}\operatorname{div};\mathbb{S})$-符合元，形状函数空间为 $\mathbb{P}_k(K;\mathbb{S}) \oplus \mathbf{x}\mathbf{x}^T\mathbb{H}_{k-1}(K)$，其中 $k \geq \max\{d,3\}$。
• 自由度包括顶点处的点值、面上的法向-法向迹、切向迹，以及对偏转和对称梯度算子的矩。
• 所构造的有限元空间被证明是 $H(\operatorname{div}\operatorname{div};\Omega;\mathbb{S})$-符合的，确保了法向通量与散度迹的连续性。
• 建立了 $\boldsymbol{V}_h(\operatorname{div}\operatorname{div})$ 与 $\boldsymbol{V}_h^{-}(\operatorname{div}\operatorname{div})$ 空间的 inf-sup 稳定性，其中 $\|p_h\|_0 \lesssim \sup_{\boldsymbol{\tau}_h} \frac{(\operatorname{div}\operatorname{div}\boldsymbol{\tau}_h, p_h)}{\|\boldsymbol{\tau}_h\|_0 + \|\operatorname{div}\operatorname{div}\boldsymbol{\tau}_h\|_0}$ 对于 $p_h \in \mathbb{P}_{k-2}(\mathcal{T}_h)$ 与 $\mathbb{P}_{k-1}(\mathcal{T}_h)$ 成立。